Question

已知函數(shù)y=f（x）在定義域R上是增函數(shù)，值域?yàn)椋?，+∞），且滿足：f（-x）=

1

f(x)

．設(shè)F（x）=

1-f(x)

1+f(x)

．
（1）求函數(shù)y=F（x）值域和零點(diǎn)；
（2）判斷函數(shù)y=F（x）奇偶性和單調(diào)性，并給予證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的值域,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）確定函數(shù)y=F（x）的解析式，利用值域?yàn)椋?，+∞），即可求函數(shù)y=F（x）值域和零點(diǎn)；
（2）利用奇偶性和單調(diào)性的定義，即可判斷函數(shù)y=F（x）奇偶性和單調(diào)性．

解答： 解：（1）∵f（-x）=

1

f(x)

，
∴F（x）=

1-f(x)

1+f(x)

=-1+

2

1+f(x)

，
∵f（x）＞0，∴0＜

1

1+f(x)

＜1
∴-1＜F（x）＜1，
故y=F（x）的值域?yàn)椋?1，1）；----------------------------------------（4分）
∵f（-x）=

1

f(x)

，
∴令x=0，f（0）=±1，
∵f（x）＞0，∴f（0）=1．
故y=F（x）的零點(diǎn)為x=0------------------------------------------------（4分）
（2）對任意的x∈R，F(xiàn)（-x）=

1-f(-x)

1+f(-x)

=-

1-f(x)

1+f(x)

=-F（x），--------（3分）
∴y=F（x）是奇函數(shù)．-------------------------------------------（2分）
由已知，y=f（x）在定義域R上是增函數(shù)，
∴對任意的x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，都有f（x₁）-f（x₂）＜0．
又F（x₁）-F（x₂）=

2

1+f(x1)

-

2

1+f(x2)

=

f(x2)-f(x1)

[1+f(x1)][1+f(x2)]

＞0．------------（3分）
∴y=F（x）在定義域R上是減函數(shù)．-----------------------------------------------------（2分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查函數(shù)的值域，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．