Question

1．已知函數(shù)f（x）=sinx（cosx-sinx）+$\frac{1}{2}$
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（II）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，
（II）將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的減區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

解答 解：函數(shù)f（x）=sinx（cosx-sinx）+$\frac{1}{2}$
化簡(jiǎn)可得：f（x）=sinxcosx-sin²x$+\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）
（Ⅰ）∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（II）由$\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{4}$$≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z，
得$kπ+\frac{π}{8}$≤x≤$kπ+\frac{5π}{8}$，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[$kπ+\frac{π}{8}$，$kπ+\frac{5π}{8}$]k∈Z

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．