Question

已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
（3）若對(duì)任意的恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）極小值，無極大值；（2）參考解析；（3）

試題分析：（1）當(dāng)時(shí).函數(shù)f(x)是一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)和分式的和的形式.通過求導(dǎo)可以求出函數(shù)的有極小值，但沒極大值.
（2）當(dāng)時(shí).通過求導(dǎo)可得導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，在定義域上分別對(duì)兩個(gè)零點(diǎn)的大小討論分類.從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
（3）由對(duì)任意的恒有成立.首先要求出函數(shù)f(x)在[1,3]上且的最大值.從而對(duì)于任意使得恒成立即可.再通過分離變量即可得到結(jié)論.本題前兩小題較為基礎(chǔ)但第二小題的分類做到清晰不容易，第三小題難度較大.
試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，     1分
由,解得.                                2分
∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).               3分
∴的極小值為，無極大值.                   4分
（2）.  6分
①當(dāng)時(shí)，在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；   7分
②當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；                      8分
③當(dāng)時(shí)，在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).    9分
（3）當(dāng)時(shí)，由（2）可知在上是減函數(shù)，
∴.              10分
由對(duì)任意的恒成立，
∴                        11分
即對(duì)任意恒成立，
即對(duì)任意恒成立，                         12分
由于當(dāng)時(shí)，，∴.           14分