Question

已知函數(shù) (為實常數(shù)) ．
（1）當時，求函數(shù)在上的最大值及相應的值；
（2）當時，討論方程根的個數(shù)．
（3）若，且對任意的，都有，求實數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

（1）.；（2）時，方程有2個相異的根. 或時，方程有1個根. 時，方程有0個根.（3）.

試題分析：（1）通過求導數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，在對比區(qū)間的兩端點的函數(shù)值即可求得函數(shù)的最大值.（2）由于參數(shù)的變化.可以采取分離變量的方法，轉化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題.其中一個是垂直于y軸的直線，另一個是通過求出函數(shù)的走向.根據(jù)圖像即可得到結論.（3）將要說明的結論通過變形得到一個等價問題從而證明新的函數(shù)的單調(diào)性，使得問題巧妙地轉化.本題只是容量大.通過研究函數(shù)的單調(diào)性，含參函數(shù)的討論.與不等式的相結合轉化為函數(shù)的單調(diào)性的證明.
試題解析：（1），當時，．當時，，又，
故，當時，取等號                 4分
（2）易知，故，方程根的個數(shù)等價于時，方程根的個數(shù)． 設=，
當時，，函數(shù)遞減，當時，，函數(shù)遞增．又，，作出與直線的圖像，由圖像知：
當時，即時，方程有2個相異的根；
當 或時，方程有1個根；
當時，方程有0個根；              10分
（3）當時，在時是增函數(shù)，又函數(shù)是減函數(shù)，不妨設，則等價于
即，故原題等價于函數(shù)在時是減函數(shù)，
恒成立，即在時恒成立．
在時是減函數(shù)     16分
（其他解法酌情給分）