Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+5，在曲線y=f（x）上的點(diǎn)P（1，f（1））處的切線與直線y=3x+2平行．
（1）若函數(shù)y=f（x）在x=-2時(shí)取得極值，求a，b的值；
（2）在（1）的條件下求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得2a+b=0，再由極值得12-4a+b=0，從而解出a，b．（2）用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
∵曲線y=f（x）上的點(diǎn)P（1，f（1））處的切線與直線y=3x+2平行，
∴f′（1）=3+2a+b=3即2a+b=0①
∵y=f（x）在x=-2時(shí)取得極值，
∴f′（-2）=0即12-4a+b=0 ②
聯(lián)立①②解得a=2，b=-4
（2）由（1）得
f（x）=x³+2x²-4x+5，
f′（x）=3x²+4x-4=3（x+2）（x-

2

3

）
解f′（x）＞0得x＜-2或x＞

2

3

，則函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-2），（

2

3

，+∞）
解f′（x）＜0得-2＜x＜

2

3

，則函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-2，

2

3

），
所以函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-2），（

2

3

，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為(-2，

2

3

)．

點(diǎn)評：本題考查了學(xué)生對導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用的掌握，是基礎(chǔ)題．