如圖所示的正方體，邊長(zhǎng)為a，試求：

　　(1)異面直線A1B與D1B1所成的角；

 

 

　　(2)異面直線A1B與D1B1間的距離．

 

答案：
解析：

解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1，B，D1，B1的四個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)分別為A1(0，0，a)，B(a，0，0)，D1(0，a，a)，B1(a，0，a)

　　則=(a，0，-a)

　　=(a，-a，0)

　　(1)cos〈，〉=，異面直線A1B與D1B1所成的角為60°

　　(2)設(shè)M、N分別為空間直線A1B、D1B1上的任意一點(diǎn)，根據(jù)直線A1B、D1B1的各自特點(diǎn)，可分別設(shè)M、N坐標(biāo)為M(x1，0，a-x1)、N(x2，a-x2，a)，則=(x2-x1，a-x2，x1)．當(dāng)MN為異面直線A1B、D1B1的公垂線段時(shí)，應(yīng)有MN⊥A1B，MN⊥D1B1，從而，

　　即

　　解得，a

　　∴　異面直線A1B與D1B1間的距離

　　

　　　=

 


提示：

說(shuō)明：本題用向量的方法求異面直線所成的角，并借助于法向量求出兩異面直線之間的距離．題目富有創(chuàng)意，很值得細(xì)細(xì)體味．

 


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5
9
；第二步，將圖①的5個(gè)小正方形中的每個(gè)小正方形都進(jìn)行與第一步相同的操作，得到圖②；依此類推，到第n步，所得圖形的面積Sn=
5
9
n．若將以上操作類比推廣到棱長(zhǎng)為1的正方體中，則到第n步，所得幾何體的體積Vn=
(
1
3
)n
(
1
3
)n
．

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如圖所示的正方體，邊長(zhǎng)為a，試求：

　　(1)異面直線A1B與D1B1所成的角；

 

 

　　(2)異面直線A1B與D1B1間的距離．

 

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