如圖所示的正方體,邊長(zhǎng)為a,試求:

  (1)異面直線A1BD1B1所成的角;

 

 

  (2)異面直線A1BD1B1間的距離.

 

答案:
解析:

解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A1B,D1,B1的四個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)分別為A1(0,0,a),B(a,0,0),D1(0,a,a),B1(a,0,a)

  則=(a,0,-a)

  =(a,-a,0)

  (1)cos〈,〉=,異面直線A1BD1B1所成的角為60°

  (2)設(shè)MN分別為空間直線A1B、D1B1上的任意一點(diǎn),根據(jù)直線A1B、D1B1的各自特點(diǎn),可分別設(shè)M、N坐標(biāo)為M(x1,0,a-x1)、N(x2,a-x2,a),則=(x2-x1a-x2,x1).當(dāng)MN為異面直線A1BD1B1的公垂線段時(shí),應(yīng)有MNA1BMND1B1,從而

  即

  解得,a

  ∴ 異面直線A1BD1B1間的距離

  

   =

 


提示:

說(shuō)明:本題用向量的方法求異面直線所成的角,并借助于法向量求出兩異面直線之間的距離.題目富有創(chuàng)意,很值得細(xì)細(xì)體味.

 


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5
9
;第二步,將圖①的5個(gè)小正方形中的每個(gè)小正方形都進(jìn)行與第一步相同的操作,得到圖②;依此類推,到第n步,所得圖形的面積Sn=
5
9
n
.若將以上操作類比推廣到棱長(zhǎng)為1的正方體中,則到第n步,所得幾何體的體積Vn=
(
1
3
)
n
(
1
3
)
n

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