Question

如圖所示的正方體，邊長為a，試求：

　　(1)異面直線A₁B與D₁B₁所成的角；

 

 

　　(2)異面直線A₁B與D₁B₁間的距離．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：建立如圖所示的空間直角坐標系，則A1，B，D1，B1的四個點坐標分別為A1(0，0，a)，B(a，0，0)，D1(0，a，a)，B1(a，0，a) 　　則=(a，0，-a) 　　=(a，-a，0) 　　(1)cos〈，〉=，異面直線A1B與D1B1所成的角為60° 　　(2)設M、N分別為空間直線A1B、D1B1上的任意一點，根據(jù)直線A1B、D1B1的各自特點，可分別設M、N坐標為M(x1，0，a-x1)、N(x2，a-x2，a)，則=(x2-x1，a-x2，x1)．當MN為異面直線A1B、D1B1的公垂線段時，應有MN⊥A1B，MN⊥D1B1，從而， 　　即 　　解得，a 　　∴　異面直線A1B與D1B1間的距離 　　 　　　=

提示：

說明：本題用向量的方法求異面直線所成的角，并借助于法向量求出兩異面直線之間的距離．題目富有創(chuàng)意，很值得細細體味．