【題目】如圖,已知二面角α﹣MN﹣β的大小為60°,菱形ABCD在面β內(nèi),A、B兩點(diǎn)在棱MN上,∠BAD=60°,E是AB的中點(diǎn),DO⊥面α,垂足為O.
(1)證明:AB⊥平面ODE;
(2)求異面直線BC與OD所成角的余弦值.
【答案】
(1)證明:如圖
∵DO⊥面α,ABα,∴DO⊥AB,
連接BD,由題設(shè)知,△ABD是正三角形,
又E是AB的中點(diǎn),∴DE⊥AB,又DO∩DE=D,
∴AB⊥平面ODE;
(2)解:∵BC∥AD,
∴BC與OD所成的角等于AD與OD所成的角,即∠ADO是BC與OD所成的角,
由(1)知,AB⊥平面ODE,
∴AB⊥OE,又DE⊥AB,于是∠DEO是二面角α﹣MN﹣β的平面角,
從而∠DEO=60°,不妨設(shè)AB=2,則AD=2,易知DE= ,
在Rt△DOE中,DO=DEsin60°= ,連AO,在Rt△AOD中,cos∠ADO= = ,
故異面直線BC與OD所成角的余弦值為 .
【解析】(1)運(yùn)用直線與平面垂直的判定定理,即可證得,注意平面內(nèi)的相交二直線;(2)根據(jù)異面直線的定義,找出所成的角為∠ADO,說明∠DEO是二面角α﹣MN﹣β的平面角,不妨設(shè)AB=2,從而求出OD的長,再在直角三角形AOD中,求出cos∠ADO.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解異面直線及其所成的角的相關(guān)知識(shí),掌握異面直線所成角的求法:1、平移法:在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn),作另一條的平行線;2、補(bǔ)形法:把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體,如正方體、平行六面體、長方體等,其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系,以及對(duì)直線與平面垂直的判定的理解,了解一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐的側(cè)棱PD⊥底面ABCD,且底面ABCD是直角梯形,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD= CD=2,點(diǎn)M在側(cè)棱上.
(1)求證:BC⊥平面BDP;
(2)若側(cè)棱PC與底面ABCD所成角的正切值為 ,點(diǎn)M為側(cè)棱PC的中點(diǎn),求異面直線BM與PA所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(選修4﹣5:不等式選講)
已知函數(shù)f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)當(dāng)a=﹣2時(shí),求不等式f(x)<g(x)的解集;
(2)設(shè)a>﹣1,且當(dāng) 時(shí),f(x)≤g(x),求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)a,b均大于0,且 + =1.求證:對(duì)于每個(gè)n∈N* , 都有(a+b)n﹣(an+bn)≥22n﹣2n+1 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)一批產(chǎn)品的長度(單位:毫米)進(jìn)行抽樣檢測,如圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖.根據(jù)標(biāo)準(zhǔn),產(chǎn)品長度在區(qū)間[20,25)上為一等品,在區(qū)間[15,20)和[25,30)上為二等品,在區(qū)間[10,15)和[30,35]上為三等品.用頻率估計(jì)概率,現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件,則其為二等品的概率是( )
A.0.09
B.0.20
C.0.25
D.0.45
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是一幾何體的平面展開圖,其中ABCD為正方形,E,F分別為PA,PD的中點(diǎn),
在此幾何體中,給出下面四個(gè)結(jié)論:
①直線BE與直線CF異面; ②直線BE與直線AF異面;
③直線EF∥平面PBC; ④平面BCE⊥平面PAD.
其中正確的有( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式;
(Ⅱ)將函數(shù)的圖象做怎樣的平移變換可以得到函數(shù)的圖象;
(Ⅲ)若方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E,F(xiàn)分別是A1B,A1C的中點(diǎn),點(diǎn)D在B1C1上,A1D⊥B1C.求證:
(1)EF∥平面ABC;
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
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