已知兩點(diǎn),直線AM、BM相交于點(diǎn)M,且這兩條直線的斜率之積為
.
(Ⅰ)求點(diǎn)M的軌跡方程;
(Ⅱ)記點(diǎn)M的軌跡為曲線C,曲線C上在第一象限的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1,直線PE、PF與圓(
)相切于點(diǎn)E、F,又PE、PF與曲線C的另一交點(diǎn)分別為Q、R.
求△OQR的面積的最大值(其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(Ⅰ)(
);(Ⅱ)
.
解析試題分析:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為
則,
,化簡(jiǎn)可得軌跡方程.
(Ⅱ)設(shè)出直線PE、PF的點(diǎn)斜式方程,分別求出它們與圓(
)相切條件下與曲線C的另一交個(gè)交點(diǎn)Q、R.的坐標(biāo),寫(xiě)出直線
的方程,點(diǎn)到直線的距離公式可求
的底邊
上的高.進(jìn)而得出
面積的表達(dá)式,再探索用基本不等式求該式最值的方法.
試題解析:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn),
2分
整理得點(diǎn)M所在的曲線C的方程:(
) 3分
(Ⅱ)由題意可得點(diǎn)P() 4分
因?yàn)閳A的圓心為(1,0),
所以直線PE與直線PF的斜率互為相反數(shù) 5分
設(shè)直線PE的方程為,
與橢圓方程聯(lián)立消去,得:
, 6分
由于1是方程的一個(gè)解,
所以方程的另一解為 7分
同理 8分
故直線RQ的斜率為=
9分
把直線RQ的方程代入橢圓方程,消去
整理得
所以 10分
原點(diǎn)O到直線RQ的距離為 11分
12分
考點(diǎn):1、動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法;2、直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系;3、基本不等式的應(yīng)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)
,
是動(dòng)點(diǎn),且
的三邊所在直線的斜率滿足
.
(1)求點(diǎn)的軌跡
的方程;
(2)若是軌跡
上異于點(diǎn)
的一個(gè)點(diǎn),且
,直線
與
交于點(diǎn)
,問(wèn):是否存在點(diǎn)
,使得
和
的面積滿足
?若存在,求出點(diǎn)
的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)和
,圓
是以
為圓心,半徑為
的圓,點(diǎn)
是圓
上任意一點(diǎn),線段
的垂直平分線
和半徑
所在的直線交于點(diǎn)
.
(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)
的軌跡方程
;
(Ⅱ)已知,
是曲線
上的兩點(diǎn),若曲線
上存在點(diǎn)
,滿足
(
為坐標(biāo)原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓C:的一個(gè)焦點(diǎn)是(1,0),兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)Q(4,0)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的
對(duì)稱點(diǎn)為A1.求證:直線A1B過(guò)x軸上一定點(diǎn),并求出此定點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓:
的離心率為
且與雙曲線
:
有共同焦點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)在橢圓落在第一象限的圖像上任取一點(diǎn)作
的切線
,求
與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的最小值;
(3)設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為
,過(guò)橢圓
上的一點(diǎn)
作
軸的垂線交
軸于點(diǎn)
,若
點(diǎn)滿足
,
,連結(jié)
交
于點(diǎn)
,求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為
、
,
為原點(diǎn).
(1)如圖1,點(diǎn)為橢圓
上的一點(diǎn),
是
的中點(diǎn),且
,求點(diǎn)
到
軸的距離;
(2)如圖2,直線與橢圓
相交于
、
兩點(diǎn),若在橢圓
上存在點(diǎn)
,使四邊形
為平行四邊形,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓,橢圓
以
的長(zhǎng)軸為短軸,且與
有相同的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A,B分別在橢圓和
上,
,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在
軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為
,且點(diǎn)
在橢圓
上.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)是橢圓
長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)
作方向向量
的直線
交橢圓
于
、
兩點(diǎn),求證:
為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
設(shè)橢圓E:=1(
)過(guò)點(diǎn)M(2,
), N(
,1),
為坐標(biāo)原點(diǎn)
(I)求橢圓E的方程;
(II)是否存在以原點(diǎn)為圓心的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且?若存在,寫(xiě)出該圓的方程;若不存在,說(shuō)明理由。
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