在平面直角坐標(biāo)系中,已知點
,
是動點,且
的三邊所在直線的斜率滿足
.
(1)求點的軌跡
的方程;
(2)若是軌跡
上異于點
的一個點,且
,直線
與
交于點
,問:是否存在點
,使得
和
的面積滿足
?若存在,求出點
的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
(1)(
且
),(2)
解析試題分析:(1)點的軌跡的方程,就是找出點
橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的關(guān)系式,而條件
中只有點
為未知,可直接利用斜率公式
化簡,得點
的軌跡的方程為
,求出軌跡的方程后需結(jié)合變形過程及觀察圖像進行去雜,本題中分母不為零是限制條件,(2)本題難點在于對條件的轉(zhuǎn)化,首先條件
說明的是
,其次條件
揭示的是
,兩者結(jié)合轉(zhuǎn)化為條件
,到此原題就轉(zhuǎn)化為:已知斜率為
的過點
直線被拋物線
截得弦長為
,求點
的坐標(biāo).
試題解析:
(1)設(shè)點為所求軌跡上的任意一點,則由
得,
,整理得軌跡
的方程為
(
且
). 3分
(2):學(xué)設(shè)由
可知直線
,
則,故
,即
, 5分
直線OP方程為: ①; 直線QA的斜率為:
,
∴直線QA方程為:,即
②
聯(lián)立①②,得,∴點M的橫坐標(biāo)為定值
. 8分
由,得到
,因為
,所以
,
由,得
,∴
的坐標(biāo)為
.
∴存在點P滿足,
的坐標(biāo)為
. 10分
考點:軌跡方程,直線與拋物線位置關(guān)系
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知直線l:y=x+,圓O:x2+y2=5,橢圓E:
=1(a>b>0)的離心率e=
,直線l被圓O截得的弦長與橢圓的短軸長相等.
(1)求橢圓E的方程;
(2)過圓O上任意一點P作橢圓E的兩條切線,若切線都存在斜率,求證:兩條切線的斜率之積為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知定點A (p為常數(shù),p>0),B為x軸負(fù)半軸上的一個動點,動點M使得|AM|=|AB|,且線段BM的中點G在y軸上.
(1)求動點M的軌跡C的方程;
(2)設(shè)EF為曲線C的一條動弦(EF不垂直于x軸),其垂直平分線與x軸交于點T(4,0),當(dāng)p=2時,求|EF|的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知動點P到點A(-2,0)與點B(2,0)的斜率之積為-,點P的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)若點Q為曲線C上的一點,直線AQ,BQ與直線x=4分別交于M,N兩點,直線BM與橢圓的交點為D.求證,A,D,N三點共線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)一個焦點為,且離心率
的橢圓
上下兩頂點分別為
,直線
交橢圓
于
兩點,直線
與直線
交于點
.
(1)求橢圓的方程;
(2)求證:三點共線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
拋物線在點
,
處的切線垂直相交于點
,直線
與橢圓
相交于
,
兩點.
(1)求拋物線的焦點
與橢圓
的左焦點
的距離;
(2)設(shè)點到直線
的距離為
,試問:是否存在直線
,使得
,
,
成等比數(shù)列?若存在,求直線
的方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,已知點
,動點
在
軸上的正射影為點
,且滿足直線
.
(Ⅰ)求動點M的軌跡C的方程;
(Ⅱ)當(dāng)時,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知兩點,直線AM、BM相交于點M,且這兩條直線的斜率之積為
.
(Ⅰ)求點M的軌跡方程;
(Ⅱ)記點M的軌跡為曲線C,曲線C上在第一象限的點P的橫坐標(biāo)為1,直線PE、PF與圓(
)相切于點E、F,又PE、PF與曲線C的另一交點分別為Q、R.
求△OQR的面積的最大值(其中點O為坐標(biāo)原點).
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