在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),是動(dòng)點(diǎn),且的三邊所在直線(xiàn)的斜率滿(mǎn)足.
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)若是軌跡上異于點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn),且,直線(xiàn)與交于點(diǎn),問(wèn):是否存在點(diǎn),使得和的面積滿(mǎn)足?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
(1)(且),(2)
解析試題分析:(1)點(diǎn)的軌跡的方程,就是找出點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的關(guān)系式,而條件中只有點(diǎn)為未知,可直接利用斜率公式化簡(jiǎn),得點(diǎn)的軌跡的方程為,求出軌跡的方程后需結(jié)合變形過(guò)程及觀察圖像進(jìn)行去雜,本題中分母不為零是限制條件,(2)本題難點(diǎn)在于對(duì)條件的轉(zhuǎn)化,首先條件說(shuō)明的是,其次條件揭示的是,兩者結(jié)合轉(zhuǎn)化為條件,到此原題就轉(zhuǎn)化為:已知斜率為的過(guò)點(diǎn)直線(xiàn)被拋物線(xiàn)截得弦長(zhǎng)為,求點(diǎn)的坐標(biāo).
試題解析:
(1)設(shè)點(diǎn)為所求軌跡上的任意一點(diǎn),則由得,
,整理得軌跡的方程為(且). 3分
(2):學(xué)設(shè)由可知直線(xiàn),
則,故,即, 5分
直線(xiàn)OP方程為: ①; 直線(xiàn)QA的斜率為:,
∴直線(xiàn)QA方程為:,即 ②
聯(lián)立①②,得,∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為定值. 8分
由,得到,因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/36/6/14xf44.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,
由,得,∴的坐標(biāo)為.
∴存在點(diǎn)P滿(mǎn)足,的坐標(biāo)為. 10分
考點(diǎn):軌跡方程,直線(xiàn)與拋物線(xiàn)位置關(guān)系
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知直線(xiàn)l:y=x+,圓O:x2+y2=5,橢圓E:=1(a>b>0)的離心率e=,直線(xiàn)l被圓O截得的弦長(zhǎng)與橢圓的短軸長(zhǎng)相等.
(1)求橢圓E的方程;
(2)過(guò)圓O上任意一點(diǎn)P作橢圓E的兩條切線(xiàn),若切線(xiàn)都存在斜率,求證:兩條切線(xiàn)的斜率之積為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知定點(diǎn)A (p為常數(shù),p>0),B為x軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M使得|AM|=|AB|,且線(xiàn)段BM的中點(diǎn)G在y軸上.
(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)設(shè)EF為曲線(xiàn)C的一條動(dòng)弦(EF不垂直于x軸),其垂直平分線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)T(4,0),當(dāng)p=2時(shí),求|EF|的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)A(-2,0)與點(diǎn)B(2,0)的斜率之積為-,點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)C.
(1)求曲線(xiàn)C的方程;
(2)若點(diǎn)Q為曲線(xiàn)C上的一點(diǎn),直線(xiàn)AQ,BQ與直線(xiàn)x=4分別交于M,N兩點(diǎn),直線(xiàn)BM與橢圓的交點(diǎn)為D.求證,A,D,N三點(diǎn)共線(xiàn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
設(shè)橢圓過(guò)點(diǎn),離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)求過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)被橢圓所截得線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
設(shè)一個(gè)焦點(diǎn)為,且離心率的橢圓上下兩頂點(diǎn)分別為,直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn),直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)求證:三點(diǎn)共線(xiàn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
拋物線(xiàn)在點(diǎn),處的切線(xiàn)垂直相交于點(diǎn),直線(xiàn)與橢圓相交于,兩點(diǎn).
(1)求拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)的距離;
(2)設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為,試問(wèn):是否存在直線(xiàn),使得,,成等比數(shù)列?若存在,求直線(xiàn)的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)在軸上的正射影為點(diǎn),且滿(mǎn)足直線(xiàn).
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求直線(xiàn)的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知兩點(diǎn),直線(xiàn)AM、BM相交于點(diǎn)M,且這兩條直線(xiàn)的斜率之積為.
(Ⅰ)求點(diǎn)M的軌跡方程;
(Ⅱ)記點(diǎn)M的軌跡為曲線(xiàn)C,曲線(xiàn)C上在第一象限的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1,直線(xiàn)PE、PF與圓()相切于點(diǎn)E、F,又PE、PF與曲線(xiàn)C的另一交點(diǎn)分別為Q、R.
求△OQR的面積的最大值(其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
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