Question

5．?dāng)?shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為${a_n}=\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}$，設(shè)f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n），試求f（1），f（2），f（3），f（4）的值，推導(dǎo)出f（n）的公式，并證明．

Answer 1

分析 利用遞推關(guān)系猜想并利用數(shù)學(xué)歸納法即可得出．

解答 解：f（1）=1-a₁=1-$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
同理可得：f（2）=$\frac{4}{6}$，f（3）=$\frac{5}{8}$，f（4）=$\frac{6}{10}$，
猜想：f（n）=$\frac{n+2}{2（n+1）}$，
證明如下：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，f（1）=$\frac{3}{4}$=$\frac{1+2}{2×（1+1）}$，公式成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即f（k）=$\frac{k+2}{2（k+1）}$．
那么f（k+1）=f（k）（1-a_k+1）=$\frac{k+2}{2（k+1）}$$[1-\frac{1}{（k+2）^{2}}]$=$\frac{（k+1）+2}{2[（k+1）+1]}$．
由（1）（2）可知，f（n）=$\frac{n+2}{2（n+1）}$，對(duì)任何n∈N^*都成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了猜想、數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．