Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足：對任意的n∈N^*均有a_n+1=ka_n+2k-2，其中k為不等于0與1的常數(shù)，若a_i∈{-272，-32，-2，8，88，888}，i=2、3、4、5，則滿足條件的a₁所有可能值的和為$\frac{2402}{3}$．

Answer 1

分析 依題意，可得a_n+1+2=k（a_n+2），再對a₁=-2與a₁≠-2討論，特別是a₁≠-2時(shí)對公比k分|k|＞1與|k|＜1，即可求得a₁所有可能值，從而可得答案．

解答 解：∵a_n+1=ka_n+2k-2，
∴a_n+1+2=k（a_n+2），
∴①若a₁=-2，則a₁₊₁+2=k（a₁+2）=0，a₂=-2，同理可得，a₃=a₄=a₅=-2，即a₁=-2復(fù)合題意；
②若a₁≠-2，k為不等于0與1的常數(shù)，則數(shù)列{a_n+2}是以k為公比的等比數(shù)列，
∵a_i∈{-272，-32，-2，8，88，888}，i=2，3，4，5，
a_n+2可以取-270，-30，10，90，
∴若公比|k|＞1，則k=-3，由a₂+2=10=-3（a₁+2）得：a₁=-$\frac{16}{3}$；
若公比|k|＜1，則k=-$\frac{1}{3}$，由a₂+2=-270=-$\frac{1}{3}$（a₁+2）得：a₁=808．
綜上所述，滿足條件的a₁所有可能值為-2，-$\frac{16}{3}$，808．
∴a₁所有可能值的和為：-2$-\frac{16}{3}+808$=$\frac{2402}{3}$．
故答案為：$\frac{2402}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合運(yùn)用，對a_n+1+2=k（a_n+2）的理解與應(yīng)用是難點(diǎn)，對公比k分|k|＞1與|k|＜1討論是關(guān)鍵，考查邏輯思維與推理運(yùn)算能力，屬于難題．