4.已知函數(shù)f(x)=ex,x∈R.
(1)求f(x)的圖象在點(0,f(0))處的切線方程;
(2)證明:曲線y=f(x)與直線y=ex有唯一公共點.

分析 (1)求導(dǎo)數(shù),確定切線的斜率、切點坐標(biāo),即可求出f(x)的圖象在點(0,f(0))處的切線方程;
(2)設(shè)g(x)=ex-ex,曲線y=ex與y=ex的公共點的個數(shù)等于函數(shù)g(x)=ex-ex零點的個數(shù).

解答 (1)解:∵f′(0)=e0=1,f(0)=1,∴切線方程為y-1=1•(x-0),即x-y+1=0.
(2)證明:設(shè)g(x)=ex-ex,曲線y=ex與y=ex的公共點的個數(shù)等于函數(shù)g(x)=ex-ex零點的個數(shù).
∵g′(x)=ex-e,令g′(x)=0,得x=1,
∴g(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴g(x)的最小值g(1)=e1-e=0,
g(x)=ex-ex≥0(僅當(dāng)x=1時,等號成立).
∴曲線y=f(x)與直線y=ex有唯一公共點.

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,正確構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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15.西部大部分地區(qū)的電力緊缺,電力公司為鼓勵市民節(jié)約用電,采取按月用電量分段收費辦法,若某戶居民每月應(yīng)交電費y(元)與用電量x(度)的函數(shù)圖象是一條折線(如圖所示),根據(jù)圖象解下列問題:
(1)分別寫出當(dāng)0≤x≤100和x≥100時,y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)利用函數(shù)關(guān)系式,說明電力公司采取的收費標(biāo)準(zhǔn);
(3)若該用戶某月用電62度,則應(yīng)繳費多少元?若該用戶某月繳費105元時,則該用戶該月用了多少度電?

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12.($\frac{64}{27}$)${\;}^{\frac{1}{2}}$+log3$\frac{10}{9}$+log3$\frac{9}{10}$=$\frac{8\sqrt{3}}{9}$.

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(1)求函數(shù)的定義域并判斷其單調(diào)性;
(2)解關(guān)于x的不等式f(2x-1)<0.

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16.已知a為常數(shù),函數(shù)f(x)=x2+ax-lnx,g(x)=ex(其中e是自然數(shù)對數(shù)的底數(shù)).
(1)過坐標(biāo)原點O作曲線y=f(x)的切線,設(shè)切點P(x0,y0)為,求x0的值;
(2)令$F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$,若函數(shù)F(x)在區(qū)間(0,1]上是單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.

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13.已知數(shù)列{an}滿足:對任意的n∈N*均有an+1=kan+2k-2,其中k為不等于0與1的常數(shù),若ai∈{-272,-32,-2,8,88,888},i=2、3、4、5,則滿足條件的a1所有可能值的和為$\frac{2402}{3}$.

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14.如圖,四棱錐P-ABCD的底面是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AD=2AB=2,E、F分別為BC與PD的中點.
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