分析 (1)求導(dǎo)數(shù),確定切線的斜率、切點坐標(biāo),即可求出f(x)的圖象在點(0,f(0))處的切線方程;
(2)設(shè)g(x)=ex-ex,曲線y=ex與y=ex的公共點的個數(shù)等于函數(shù)g(x)=ex-ex零點的個數(shù).
解答 (1)解:∵f′(0)=e0=1,f(0)=1,∴切線方程為y-1=1•(x-0),即x-y+1=0.
(2)證明:設(shè)g(x)=ex-ex,曲線y=ex與y=ex的公共點的個數(shù)等于函數(shù)g(x)=ex-ex零點的個數(shù).
∵g′(x)=ex-e,令g′(x)=0,得x=1,
∴g(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴g(x)的最小值g(1)=e1-e=0,
g(x)=ex-ex≥0(僅當(dāng)x=1時,等號成立).
∴曲線y=f(x)與直線y=ex有唯一公共點.
點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,正確構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵.
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