Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=8，a₅=0，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為Sn=2n-1-

1

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(n∈N*)．求：
（1）數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{8a_n+30}前幾項(xiàng)和最大？并求其前n項(xiàng)和T_n的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)a₅=a₁+4d，可求公差d，進(jìn)而可求d
由已知，利用b₁=s₁，n≥2時(shí)，b_n=s_n-s_n-1，可求
（2）由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，{8a_n+30}也為等差數(shù)列，令8a_n+30≥0，求出n的范圍，然后即可求解和的最大值

解答：解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₅=a₁+4d，
即0=-8+4d
得d=-2，
∴a_n=-2n+10．
由數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為Sn=2n-1-

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2

(n∈N*)可知
當(dāng)n=1時(shí)，b1=S1=

1

2

，
當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Sn-Sn-1=2n-2，該式對(duì)n=1也成立．
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=-2n+10，{b_n}的通項(xiàng)公式為bn=2n-2．
（2）由（1）{a_n}等差數(shù)列且a_n=10-2n則由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，{8a_n+30}也為等差數(shù)列
令8a_n+30≥0，則n≤

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，
即n≤6時(shí)，8a_n+30＞0，n＞7時(shí)，8a_n+30＜0
則{8a_n+30}前6項(xiàng)和最大，值為S₆=324

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及遞推公式b₁=s₁，n≥2時(shí)，b_n=s_n-s_n-1在求解數(shù)列的通項(xiàng)公式中的應(yīng)用，等差數(shù)列的性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用是求解本題的關(guān)鍵