以F1(0,-1),F2(0,1)為焦點的橢圓C過點P(,1).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點S(,0)的動直線l交橢圓C于A、B兩點,試問:在坐標平面上是否存在一個定點T,使得無論l如何轉(zhuǎn)動,以AB為直徑的圓恒過點T ? 若存在,求出點T的坐標;若不存在,請說明理由.
解法一:(Ⅰ)設橢圓方程為(a>b>0),由已知c=1,
又2a=
所以a=,b2=a2-c2=1,橢圓C的方程是x2+ =1
(Ⅱ)若直線l與x軸重合,則以AB為直徑的圓是x2+y2=1,
若直線l垂直于x軸,則以AB為直徑的圓是(x+)2+y2=,
由解得即兩圓相切于點(1,0).
因此所求的點T如果存在,只能是(1,0).
事實上,點T(1,0)就是所求的點.證明如下:
當直線l垂直于x軸時,以AB為直徑的圓過點T(1,0).
若直線l不垂直于x軸,可設直線l:y=k(x+).
由即(k2+2)x2+k2x+k2-2=0
記點A(x1,y1),B(x2,y2),則
又因為=(x1-1, y1), =(x2-1, y2),所以
?=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+)(x2+)
=(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1
=(k2+1) +(k2-1) + +1=0,
所以TA⊥TB,即以AB為直徑的圓恒過點T(1,0).
所以在坐標平面上存在一個定點T(1,0)滿足條件.
解法二:(Ⅰ)由已知c=1,設橢圓C的方程是(a>1).
因為點P在橢圓C上,所以,解得a2=2,
所以橢圓C的方程是:.
(Ⅱ)假設存在定點T(u,v)滿足條件.
同解法一得(k2+2)x2+k2x+k2-2=0
記點A(x1,y1),B(x2,y2),則
又因為=(x1-u, y1-v), =(x2-u, y2-v),及y1=k(x1+),y2=k(x2+).
所以?=(x1-u)(x2-u)+(y1-v)(y2-v)
=(k2+1)x1x2+(k2-u-kv)(x1+x2)+k2-v+u2+v2
=(k2+1) +(k2-u-kv)?+ + u2+v2,
=
當且僅當?=0恒成立時,以AB為直徑的圓恒過點T.
?=0恒成立等價于解得u=1,v=0.所以當u=1,v=0時.無論直線l如何轉(zhuǎn)動,以AB為直徑的圓恒過定點T(1,0).10分
當直線l垂直于x軸時以AB為直徑的圓亦過點T(1,0).
所以在坐標平面上存在一個定點T(1,0)滿足條件.
解法三:(Ⅰ)同解法一或解法二.
(Ⅱ)設坐標平面上存在一個定點T滿足條件,根據(jù)直線過x軸上的定點S及橢圓的對稱性,所求的點T如果存在,只能在x軸上,設T(t,0).
同解法一得
又因為=(x1-t, y1), =(x2-t, y2),所以
?=(x1-t)(x2-t)+y1y2=(x1-t)(x2-t)+k2(x1+)(x2+)
=(k2+1)x1x2+(k2-t)(x1+x2)+k2+t 2
=(k2+1) +(k2-t)++t2
= .
當且僅當?=0恒成立時,以AB為直徑的圓恒過點T.
?=0恒成立等價于解得t=1.
所以當t=1時,以AB為直徑的圓恒過點T.
當直線l垂直于x軸時,以AB為直徑的圓亦過點T(1,0).
所以在坐標平面上存在一個定點T(1,0)滿足條件.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
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