Question

以F₁（0，-1），F(xiàn)₂（0，1）為焦點(diǎn)的橢圓C過(guò)點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得無(wú)論l如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）橢圓過(guò)點(diǎn)P，則由橢圓的定義知2a=|PF₁|+|PF₂|=，由此可求出橢圓C的方程．
（II）解法一：若直線(xiàn)l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x²+y²=1；若直線(xiàn)l垂直于x軸時(shí)，則以AB為直徑的圓是
由，由此可求出點(diǎn)T的坐標(biāo)．
解法二：如果存在定點(diǎn)T（u，v）滿(mǎn)足條件．若直線(xiàn)l垂直于x軸時(shí)，則以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）；若直線(xiàn)l不垂直于x軸時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)l：．由，整理得，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．
解答：解：（I）設(shè)橢圓方程為（a＞b＞0），∵橢圓過(guò)點(diǎn)P，則由橢圓的定義知
2a=|PF₁|+|PF₂|=
所以，，b²=a²-c²=1，
橢圓C的方程為．
（II）解法一：
若直線(xiàn)l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x²+y²=1；
若直線(xiàn)l垂直于x軸時(shí)，則以AB為直徑的圓是
由解得，所以?xún)蓤A相切于點(diǎn)（1，0）．
因此，如果存在點(diǎn)T滿(mǎn)足條件，則該點(diǎn)只能是（1，0）
下面證明T（1，0）就是所求的點(diǎn)．
若直線(xiàn)l垂直于x軸時(shí)，
則以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）；
若直線(xiàn)l不垂直于x軸時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)l：
由，整理得
記A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212520081546894/SYS201310232125200815468019_DA/19.png">，，
則=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂
==
=
所以，TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)T（1，0），
故平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T（1，0）滿(mǎn)足題設(shè)條件
解法二：（I）由已知c=1，設(shè)橢圓方程為．
因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，則，解得a²=2，
所以橢圓方程為
（II）如果存在定點(diǎn)T（u，v）滿(mǎn)足條件．
若直線(xiàn)l垂直于x軸時(shí)，
則以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）；
若直線(xiàn)l不垂直于x軸時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)l：．
由，整理得
記A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則
∵又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212520081546894/SYS201310232125200815468019_DA/32.png">，，
則=（x₁-u）（x₂-u）+（y₁-v）（y₂-v）
=
=
=
=
當(dāng)且僅當(dāng)恒成立時(shí)，以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T（u，v）．恒成立等價(jià)于，
解得u=1，v=0
所以當(dāng)u=1，v=0時(shí)，無(wú)論直線(xiàn)l如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)T（1，0）．
故平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T（1，0）滿(mǎn)足題目條件．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法和直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系，解題要注意挖掘隱含條件，合理選用公式．