以F1(0,-1),F(xiàn)2(0,1)為焦點(diǎn)的橢圓C過(guò)點(diǎn)
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)l交橢圓C于A、B兩點(diǎn),試問(wèn):在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T,使得無(wú)論l如何轉(zhuǎn)動(dòng),以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T?若存在,求出點(diǎn)T的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】分析:(I)橢圓過(guò)點(diǎn)P,則由橢圓的定義知2a=|PF1|+|PF2|=,由此可求出橢圓C的方程.
(II)解法一:若直線(xiàn)l與x軸重合,則以AB為直徑的圓是x2+y2=1;若直線(xiàn)l垂直于x軸時(shí),則以AB為直徑的圓是
,由此可求出點(diǎn)T的坐標(biāo).
解法二:如果存在定點(diǎn)T(u,v)滿(mǎn)足條件.若直線(xiàn)l垂直于x軸時(shí),則以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0);若直線(xiàn)l不垂直于x軸時(shí),可設(shè)直線(xiàn)l:.由,整理得,然后利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解.
解答:解:(I)設(shè)橢圓方程為(a>b>0),∵橢圓過(guò)點(diǎn)P,則由橢圓的定義知
2a=|PF1|+|PF2|=
所以,,b2=a2-c2=1,
橢圓C的方程為
(II)解法一:
若直線(xiàn)l與x軸重合,則以AB為直徑的圓是x2+y2=1;
若直線(xiàn)l垂直于x軸時(shí),則以AB為直徑的圓是
解得,所以?xún)蓤A相切于點(diǎn)(1,0).
因此,如果存在點(diǎn)T滿(mǎn)足條件,則該點(diǎn)只能是(1,0)
下面證明T(1,0)就是所求的點(diǎn).
若直線(xiàn)l垂直于x軸時(shí),
則以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0);
若直線(xiàn)l不垂直于x軸時(shí),可設(shè)直線(xiàn)l:
,整理得
記A(x1,y1)、B(x2,y2),則
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212520081546894/SYS201310232125200815468019_DA/19.png">,
=(x1-1)(x2-1)+y1y2
==
=
所以,TA⊥TB,即以AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)T(1,0),
故平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T(1,0)滿(mǎn)足題設(shè)條件
解法二:(I)由已知c=1,設(shè)橢圓方程為
因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上,則,解得a2=2,
所以橢圓方程為
(II)如果存在定點(diǎn)T(u,v)滿(mǎn)足條件.
若直線(xiàn)l垂直于x軸時(shí),
則以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0);
若直線(xiàn)l不垂直于x軸時(shí),可設(shè)直線(xiàn)l:
,整理得
記A(x1,y1)、B(x2,y2),則
∵又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212520081546894/SYS201310232125200815468019_DA/32.png">,,
=(x1-u)(x2-u)+(y1-v)(y2-v)
=
=
=
=
當(dāng)且僅當(dāng)恒成立時(shí),以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T(u,v).恒成立等價(jià)于,
解得u=1,v=0
所以當(dāng)u=1,v=0時(shí),無(wú)論直線(xiàn)l如何轉(zhuǎn)動(dòng),以AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)T(1,0).
故平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T(1,0)滿(mǎn)足題目條件.
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓方程的求法和直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系,解題要注意挖掘隱含條件,合理選用公式.
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2
2
,1)

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)S(-
1
3
,0)
的動(dòng)直線(xiàn)l交橢圓C于A、B兩點(diǎn),試問(wèn):在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T,使得無(wú)論l如何轉(zhuǎn)動(dòng),以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T?若存在,求出點(diǎn)T的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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