從x軸上一點A分別向函數(shù)f（x）=-x3與函數(shù)g（x）=
2
|x3|+x3
引不是水平方向的切線l1和l2，兩切線l1、l2分別與y軸相交于點B和點C，O為坐標原點，記△OAB的面積為S1，△OAC的面積為S2，則S1+S2的最小值為
 
．
考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程
專題：導數(shù)的綜合應用
分析：分別求出兩個函數(shù)的導函數(shù)，設出兩切點坐標，得到兩切線方程，設出A的坐標并代入切線方程，把兩切線與y軸的交點用A的坐標表示，求出面積，然后利用導數(shù)求最小值．
解答： 解：由f（x）=-x3，g（x）=
2
|x3|+x3
=x-3（x＞0），
得f′（x）=-3x2，g′（x）=-3x-4，
設點為A（x0，0），
則l1和l2的方程分別為y+x13=-3x12(x-x1)，y-x2-3=-3x-4(x-x2)，
分別代入A（x0，0）并整理得，
4x1-3x0=0，2x2-3x0=0，解得：x1=
3
4
x0，x2=
3
2
x0．
∴l(xiāng)1，l2與y軸的交點坐標分別為（0，
256
27
x03），（0，
27
4
x03）．
∴S=
1
2
(
256
27
x0-2+
27
4
x04)=
128
27
x0-2+
27
8
x04．
S′=-
256
27
x0-3+
27
2
x03．
由S′=0，解得x02=
8
9
．
∴當x0∈(-∞，-
2
2
3
)，(
2
2
3
，+∞)時，S′＞0；
當x0∈(-
2
2
3
，
2
2
3
)時，S′＜0．
∴當x0=
2
2
3
時S有最小值為8．
故答案為：8．
點評：本題考查了利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，考查了學生的計算能力，是壓軸題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
2
（sinx+cosx）-
1
2
|sinx-cosx|，x∈[0，2π]，則f（x）的值域是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AB=2，AC=6，點D在線段BB1上，且BD=
1
3
BB1，A1C∩AC1=E．
（Ⅰ）求證：直線DE與平面ABC不平行；
（Ⅱ）設平面ADC1與平面ABC所成的銳二面角為θ，若cosθ=
7
7
，求AA1的長；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設平面ADC1∩平面ABC=l，求直線l與DE所成的角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某城市交通規(guī)劃中，擬在以點O為圓心，半徑為50m的高架圓形車道外側P處開一個出口，以與圓形道相切的方式，引申一條直道連接到距圓形道圓心O正北250
2
m的道路上C處（如圖），以O為原點，OC為y軸建立如圖所示的直角坐標系，求直道PC所在的直線方程，并計算出口P的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知關于x的不等式
2-x
+
x+1
＜m對于任意的x∈[-1，2]恒成立
（Ⅰ）求m的取值范圍；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下求函數(shù)f（m）=m+
1
(m-2)2
的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓C1：（x-2cosθ）2+（y-2sinθ）2=1與圓C2：x2+y2=1，在下列說法中：
①對于任意的θ，圓C1與圓C2始終相切；
②對于任意的θ，圓C1與圓C2始終有四條公切線；
③直線l：2（m+3）x+3（m+2）y-（2m+5）=0（m∈R）與圓C2一定相交于兩個不同的點；
④P，Q分別為圓C1與圓C2上的動點，則|PQ|的最大值為4．
其中正確命題的序號為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

一海豚在水池的水面上自由游弋（深度忽略不計），水池為長30m，寬20m的長方體．求此刻海豚嘴尖離岸邊不超過2m的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a，b，l表示三條不同的直線，α，β，γ表示三個不同的平面，有下列四個命題：
①若α∩β=a，β∩γ=b，且a∥b，則α∥γ；、
②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，則α∥β；
③若α⊥β，α∩β=a，b?β，a⊥b，則b⊥α；
④若a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，則l⊥α．
其中正確命題的序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若二項展開式（1-x）9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，其中a0，a1，a2，…，a9是展開式系數(shù)，則||a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|的值為
 
．

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