Question

13．如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，BC=4，AA₁=4，點D是AB的中點，點E是AC的中點．
（1）求證：B₁D與C₁E相交；
（2）若C₁E⊥BC，求直線A₁D與平面B₁C₁D所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由BC$\underset{∥}{=}$B₁C₁，DF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}BC$，得DF∥B₁C₁，且DF=$\frac{1}{2}$B₁C₁，由此能證明B₁D與C₁E相交．
（2）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線A₁D與平面B₁C₁D所成角的正弦值．

解答 證明：（1）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，BC=4，AA₁=4，點D是AB的中點，點E是AC的中點
∴BC$\underset{∥}{=}$B₁C₁，DF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}BC$，
∴DF∥B₁C₁，且DF=$\frac{1}{2}$B₁C₁，
∴B₁D與C₁E相交．
解：（2）∵C₁E⊥BC，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，BC=4，AA₁=4，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，
以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標系，
則A₁（4，0，4），D（2，2，0），C₁（0，0，4），B₁（0，4，4），
$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-2，2，-4），$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（-2，2，4），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（-2，-2，4），
設(shè)平面B₁C₁D的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{B}_{1}}=-2x+2y+4z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=-2x-2y+4z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，0，1），
設(shè)直線A₁D與平面B₁C₁D所成角為θ，
sinθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}D}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}D}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{8}{\sqrt{24}•\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{30}}{15}$．
∴直線A₁D與平面B₁C₁D所成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{30}}{15}$．

點評 本題考查兩直線相交的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．