Question

18．在邊長(zhǎng)為4的等邊三角形OAB內(nèi)部任取一點(diǎn)P，使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$≤4的概率為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{8}$

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OA}$上的投影為|OQ|，又$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$=|OA|•|OQ|，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$≤4，則|OQ|≤1．

解答 解：如圖，

設(shè)$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OA}$上的投影為|OQ|，又$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$=|OA|•|OQ|，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$≤4，則|OQ|≤1；
即$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OA}$上的投影小于等于1，作OP中點(diǎn)M，MN⊥OA于N，
∴滿足條件的P的區(qū)域?yàn)樯蠄D陰影部分，N為OA四等分點(diǎn)，
∴使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$≤4的概率為：$\frac{{S}_{△OMN}}{{S}_{△OBA}}$=$\frac{1}{8}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，幾何概型的概率問(wèn)題，屬于中檔題