Question

13．已知函數(shù)f（x）=4sinxcos（x-$\frac{π}{6}$）-1
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及其圖象的對稱中心坐標
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間及f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性、圖象的對稱性，求得函數(shù)f（x）的最小正周期及其圖象的對稱中心坐標．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域，求得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間及f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=4sinxcos（x-$\frac{π}{6}$）-1=4sinx•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx+$\frac{1}{2}$sinx）-1=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
故函數(shù)f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
令2x-$\frac{π}{6}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，可得函數(shù)f（x）的圖象的對稱中心坐標為（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，0），k∈Z．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，可得函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
在[0，$\frac{π}{2}$]上，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，故當2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$時，f（x）取得最小值為-1；
當2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，f（x）取得最大值為2．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、圖象的對稱性，正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．