Question

已知函數(shù)f（x）=sin²x+asinxcosx+bcos²x（x∈R），且．
（1）求該函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）函數(shù)f（x）的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用，得到方程組，求出a，b，通過二倍角浪跡花都正弦函數(shù)化簡函數(shù)為 一個角的一個三角函數(shù)的形式，通過周期公式求該函數(shù)的最小正周期，利用正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）函數(shù)f（x）的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過左加右減的原則，先平移然后伸縮變換，即可變換為所求函數(shù)的圖象．
解答：（本小題滿分12分）
解：（1）函數(shù)f（x）=sin²x+asinxcosx+bcos²x（x∈R），
且．
所以
得：，
解得：，…（2分）
∴f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
=sin2x+2cos²x+1
=sin2x+cos2x+2
=，…（5分）
∴，即函數(shù)的最小正周期為π．…（6分）
由
得：；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為．…（8分）
（2）函數(shù)f（x）的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過下列變換得到：
①將y=sinx的圖象向左平移個單位得到的圖象；…（9分）
②將的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變）
得到的圖象；…（10分）
③將的圖象上所有點的縱坐標伸長為原來的（橫坐標不變）
得到的圖象；…（11分）
④將的圖象向上平移2個單位得到的圖象．…（12分）
（其它解法評分參照執(zhí)行）
點評：本題考查函數(shù)的解析式的求法，二倍角公式兩角和的正弦函數(shù)的應用，函數(shù)的基本性質(zhì)，函數(shù)圖象的平移，與伸縮變換，考查計算能力．