正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，以D為原點(diǎn)，
DA
，
DC
，
DD1
所在直線為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系Dxyz，點(diǎn)M在線段AB1上，點(diǎn)N在線段BC1上，且MN⊥AB1，MN⊥BC1，求：
（1）＜
AB1
，
BC1
＞；
（2）
MN
的坐標(biāo)．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：計算題,平面向量及應(yīng)用
分析：（1）分別求出D，A，B，A1，B1的坐標(biāo)，并求出向量AB1，BC1的坐標(biāo)，以及數(shù)量積和模，再由夾角公式，即可得到夾角；
（2）設(shè)點(diǎn)M（1，x，x），N（y，1，1-y），運(yùn)用向量垂直即為數(shù)量積為0，解出x，y，即可得到所求向量的坐標(biāo)．
解答： 解：（1）由題意可知D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），
B1（1，1，1），C1（0，1，1），
所以
AB1
=(0，1，1)，
BC1
=(-1，0，1)，
AB1
•
BC1
=0×(-1)+1×0+1×1=1，|
AB1
|=
02+12+12
=
2
，
|
BC1
|=
(-1)2+02+12
=
2
，
所以cos＜
AB1
，
BC1
＞=
AB1
•
BC1
|
AB1
|•|
BC1
|
=
1
2
•
2
=
1
2
，
所以＜
AB1
，
BC1
＞=
π
3
；
（2）設(shè)點(diǎn)M（1，x，x），N（y，1，1-y），
則
MN
=(y-1，1-x，1-x-y)，
因?yàn)?span id="n3ttbtt" class="MathJye">
MN
⊥
AB1
，且
MN
⊥
BC1
，
所以
MN
•
AB1
=0，
MN
•
BC1
=0，
即
(y-1，1-x，1-x-y)•(0，1，1)=0
(y-1，1-x，1-x-y)•(-1，0，1)=0
，
化簡得
2-2x-y=0
2-x-2y=0
，解得x=y=
2
3
，
則
MN
=（-
1
3
，
1
3
，-
1
3
）．
點(diǎn)評：本題考查空間向量的數(shù)量積的定義和坐標(biāo)公式和性質(zhì)，向量垂直即為數(shù)量積為0，向量的模的公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知tanα＞0，且sinα+cosα＜0，則（　�。�
A、cosα＞0
B、cosα＜0
C、cosα=0
D、cosα符號不確定

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)向量
a
=(a1，a2)，
b
=(b1，b2)，定義一種向量積
a
?
b
=(a1b1，a2b2)，已知
m
=(2，
1
2
)，
n
=(
π
3
，0)，點(diǎn)P（x，y）在y=sinx的圖象上運(yùn)動．滿足
OQ
=
m
?
OP
+
n
（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則當(dāng)x∈[0，2π]時，函數(shù)y=f（x）的最大值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=asin2x+acos2x+b．
（Ⅰ）求證：函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=
π
8
對稱
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)A（0，1），且當(dāng)x∈[0，
π
4
]時，f（x）≤b2恒成立，試確定實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在線段AB上任取一點(diǎn)P，以P為頂點(diǎn)，B為焦點(diǎn)作拋物線，則該拋物線的準(zhǔn)線與線段AB有交點(diǎn)的概率是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將函數(shù)f（x）=sin2x（x∈R）的圖象向右平移
π
4
個單位，則所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)在下列區(qū)間中單調(diào)遞增的是（　　）
A、（
3π
4
，π）
B、（
π
2
，
3π
4
）
C、（0，
π
2
）
D、（-
π
4
，0）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知sin（
π
4
+θ）=
4
5
，θ為銳角，則sinθ=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

不相等的實(shí)數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，c、a、b成等比數(shù)列，則a：b：c=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3x(0≤x≤1)
x2-4x+4(x＞1)
，則不等式1＜f（x）＜4的解集為
 
．

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同步練習(xí)冊答案