【題目】已知函數(shù)f(x)=logm(m>0且m≠1),
(I)判斷f(x)的奇偶性并證明;
(II)若m=,判斷f(x)在(3,+∞)的單調(diào)性(不用證明);
(III)若0<m<1,是否存在β>α>0,使f(x)在[α,β]的值域為[logmm(β-1),logm(α-1)]?若存在,求出此時m的取值范圍;若不存在,請說明理由.
【答案】(Ⅰ)f(x)是奇函數(shù)(Ⅱ)見解析(Ⅲ).
【解析】
(Ⅰ)先求定義域,再判斷與f(x)關(guān)系,最后根據(jù)奇偶性定義作判斷與證明,(Ⅱ)根據(jù)單調(diào)性定義進行判斷,(Ⅲ)先根據(jù)單調(diào)性確定方程組,轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩正根,再根據(jù)二次方程實根分布列方程,最后解不等式組得結(jié)果.
解:(Ⅰ)f(x)是奇函數(shù);證明如下:
由解得x<-3或x>3,
所以f(x)的定義域為(-∞,-3)∪(3,+∞),關(guān)于原點對稱.
∵=,
故f(x)為奇函數(shù)/
(Ⅱ)任取x1,x2∈(3,+∞)且x1<x2,
=,
∵(x1-3)(x2+3)-(x1+3)(x2-3)<0,∴(x1-3)(x2+3)<(x1+3)(x2-3),
即,
當m=時,,即f(x1)<f(x2).
故f(x)在(3,+∞)上單調(diào)遞減.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,當0<m<1時,f(x)在[α,β]上單調(diào)遞減.
假設(shè)存在β>α>0,使f(x)在[α,β]的值域為[logmm(β-1),logm(α-1)].
則有,∴.
所以α,β是方程的兩正根,
整理得mx2+(2m-1)x-3m+3=0在(0,+∞)有2個不等根α和β.
令h(x)=mx2+(2m-1)x-3m+3,則h(x)在(0,+∞)有2個零點,
解得,
故m的取值范圍為.
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【題目】某校舉行漢字聽寫比賽,為了了解本次比賽成績情況,從得分不低于50分的試卷中隨機抽取100名學(xué)生的成績(得分均為整數(shù),滿分100分)進行統(tǒng)計,請根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù),解答下列問題:
組號 | 分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
第1組 | [50,60) | 5 | 0.05 |
第2組 | [60,70) | 0.35 | |
第3組 | [70,80) | 30 | |
第4組 | [80,90) | 20 | 0.20 |
第5組 | [90,100] | 10 | 0.10 |
合計 | 100 | 1.00 |
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若從成績較好的第3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取6人參加市漢字聽寫比賽,并從中選出2人做種子選手,求2人中至少有1人是第4組的概率。
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【題目】已知圓C:,直線L:.
⑴ 求證:對,直線L與圓C總有兩個交點;
⑵ 求直線L與圓C截得的線段的最短長度,以及此時直線L的方程;;
⑶ 設(shè)直線L與圓C交于A、B兩點若︱AB︱=,求L的傾斜角.
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【題目】記函數(shù)的定義域為D,若存在,使成立,則稱以為坐標的點是函數(shù)的圖象上的“穩(wěn)定點”.
(1)若函數(shù)的圖象上有且只有兩個相異的“穩(wěn)定點”,試求實數(shù)a的取值范圍;
(2)已知定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)存在有限個“穩(wěn)定點”,求證:必有奇數(shù)個“穩(wěn)定點”.
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【題目】正方體的棱長為1,線段上有兩個動點 , 且 , 則下列結(jié)論中錯誤的是( )
A.
B.三棱錐的體積為定值
C.二面角的大小為定值
D.異面直線所成角為定值
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【題目】為了解少年兒童的肥胖是否與常喝碳酸飲料有關(guān),現(xiàn)對30名六年級學(xué)生進行了問卷調(diào)查,得到數(shù)據(jù)如表所示(平均每天喝500ml以上為常喝,體重超過50kg為肥胖):
常喝 | 不常喝 | 合計 | |
肥胖 | 2 | 8 | |
不肥胖 | 18 | ||
合計 | 30 |
(Ⅰ)請將上面的列聯(lián)表補充完整;
(Ⅱ)是否有99%的把握認為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)?說明你的理由.
0.050 0.010 | |
3.841 6.635 |
參考數(shù)據(jù):
附:
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【題目】一圓臺上底半徑為5cm,下底半徑為10cm,母線AB長為20cm,其中A在上底面上,B在下底面上,從AB中點M,拉一條繩子,繞圓臺的側(cè)面一周轉(zhuǎn)到B點,則這條繩子最短長為 cm.
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【題目】(2015·上海)如圖,圓錐的頂點為P,底面的一條直徑為AB,C為半圓弧AB的中點,E為劣弧CB的中點. 已知PO=2,OA=1,求三棱錐P-AOC的體積,并求異面直線PA與OE所成角的大小.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:當時,方程在區(qū)間上只有一個解;
(3)設(shè),其中.若恒成立,求的取值范圍.
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