Question

某市在市內(nèi)主干道北京路一側(cè)修建圓形休閑廣場．如圖，圓形廣場的圓心為O，半徑為100m，并與北京路一邊所在直線l相切于點(diǎn)M．A為上半圓弧上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作l的垂線，垂足為B．市園林局計劃在△ABM內(nèi)進(jìn)行綠化．設(shè)△ABM的面積為S（單位：m²），∠AON=θ（單位：弧度）．
（Ⅰ）將S表示為θ的函數(shù)；
（Ⅱ）當(dāng)綠化面積S最大時，試確定點(diǎn)A的位置，并求最大面積．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,扇形面積公式

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)的定義求出BM，AB的長，利用三角形的面積公式求出△ABM的面積
（Ⅱ）對S求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)為0求出根，判斷根左右兩邊導(dǎo)函數(shù)的符號，求出S的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）如圖，BM=AOsinθ=100sinθ，
AB=MO+AOcosθ=100+100cosθ，θ∈（0，π）．…（3分）
則S=

1

2

MB•AB=

1

2

×100sinθ×（100+100cosθ）
=5000（sinθ+sinθcosθ），θ∈（0，π）．…（6分）
（Ⅱ）S′=5000（2cos²θ+cosθ-1）
=5000（2cosθ-1）（cosθ+1）．令S′=0，
得cosθ=

1

2

或cosθ=-1（舍去），
此時θ=

π

3

．…（8分）
當(dāng)θ變化時，S′，S的變化情況如下表：

θ	（0， π 3 ）	π 3	（ π 3 ，π）
S′	+	0	-
S	向上 ?	極大值	向下

所以，當(dāng)θ=

π

3

時，S取得最大值S_max=3750

3

m²，此時AB=150m，
即點(diǎn)A到北京路一邊l的距離為150m．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)的模型、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．