Question

一次高中數(shù)學(xué)期末考試，選擇題共有12個(gè)，每個(gè)選擇題給出了四個(gè)選項(xiàng)，在給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：對(duì)于每個(gè)選擇題，不選或多選或錯(cuò)選得0分，選對(duì)得5分．在這次考試的選擇題部分，某考生比較熟悉其中的8個(gè)題，該考生做對(duì)了這8個(gè)題．其余4個(gè)題，有一個(gè)題，因全然不理解題意，該考生在給出的四個(gè)選項(xiàng)中，隨機(jī)選了一個(gè)；有一個(gè)題給出的四個(gè)選項(xiàng)，可判斷有一個(gè)選項(xiàng)不符合題目要求，該考生在剩下的三個(gè)選項(xiàng)中，隨機(jī)選了一個(gè)；還有兩個(gè)題，每個(gè)題給出的四個(gè)選項(xiàng)，可判斷有兩個(gè)選項(xiàng)不符合題目要求，對(duì)于這兩個(gè)題，該考生都是在剩下的兩個(gè)選項(xiàng)中，隨機(jī)選了一個(gè)選項(xiàng)．請(qǐng)你根據(jù)上述信息，解決下列問(wèn)題：
（1）在這次考試中，求該考生選擇題部分得60分的概率；
（2）在這次考試中，設(shè)該考生選擇題部分的得分為X，求X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）設(shè)選對(duì)“全然不理解題意”的試題的選項(xiàng)為事件A，選對(duì)“可判斷有一個(gè)選項(xiàng)不符合題目要求”試題的選項(xiàng)為事件B，選對(duì)“可判斷有兩個(gè)選項(xiàng)不符合題目要求”試題的選項(xiàng)為事件C，根據(jù)題意得P（A）=

1

4

，P（B）=

1

3

，P（C）=

1

2

．由此能求出在這次考試中，該考生選擇題得60分的概率
（2）由題意知隨機(jī)變量X可能的取值為40，45，50，55，60，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）設(shè)選對(duì)“全然不理解題意”的試題的選項(xiàng)為事件A，
選對(duì)“可判斷有一個(gè)選項(xiàng)不符合題目要求”試題的選項(xiàng)為事件B，
選對(duì)“可判斷有兩個(gè)選項(xiàng)不符合題目要求”試題的選項(xiàng)為事件C，
根據(jù)題意得P（A）=

1

4

，P（B）=

1

3

，P（C）=

1

2

．
在這次考試中，該考生選擇題得60分的概率：
P=

1

4

×

1

3

×

1

2

×

1

2

=

1

48

．
（2）由題意知隨機(jī)變量X可能的取值為40，45，50，55，60，
根據(jù)題意得P（X=40）=

3

4

×

2

3

×

1

2

×

1

2

=

1

8

，
P（X=45）=

1

4

×

2

3

×

1

2

×

1

2

+

3

4

×

1

3

×

1

2

×

1

2

+

C

1 2

×

3

4

×

2

3

×

1

2

×

1

2

=

17

48

，
P（X=50）=

1

4

×

1

3

×

1

2

×

1

2

+

C

1 2

×

1

4

×

2

3

×

1

2

×

1

2

+

C

1 2

×

3

4

×

1

3

×

1

2

×

1

2

+

3

4

×

2

3

×

1

2

×

1

2

=

17

48

，
P（X=55）=

C

1 2

×

1

4

×

1

3

×

1

2

×

1

2

+

1

4

×

2

3

×

1

2

×

1

2

+

3

4

×

1

3

×

1

2

×

1

2

=

7

48

，
P（X=60）=

1

4

×

1

3

×

1

2

×

1

2

=

1

48

X的數(shù)學(xué)期望EX=40×

1

8

+45×

18

48

+50×

17

48

+55×

7

48

+60×

1

48

=

575

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．