Question

17．設(shè)函數(shù)f_n（x）=-xⁿ+3ax（a∈R，n∈N₊），若對任意的x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f₃（x₁）-f₃（x₂）|≤1，則a的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{\root{3}{16}}$]
• B． [$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{4}$]
• C． [$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{\root{3}{16}}$]
• D． [$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{4}$]

Answer 1

分析 根據(jù)對任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f₃（x₁）-f₃（x₂）|≤1，說明當(dāng)x取兩個特殊值-1和1時|f₃（1）-f₃（-1）|≤1成立，由此求出a的初步范圍，然后把原函數(shù)f₃（x）求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)的兩個零點(diǎn)為-$\sqrt{a}$，$\sqrt{a}$，再求出函數(shù)f₃（x）在（-1，1）上的極大值和極小值，再由極大值和極小值差的絕對值小于等于1求出a的取值范圍，和由|f₃（1）-f₃（-1）|≤1求出的a的范圍取交集即可

解答 解：因?yàn)閷θ我鈞₁，x₂∈[-1，1]，都有|f₃（x₁）-f₃（x₂）|≤1，
所以|f₃（1）-f₃（-1）|≤1，從而有|（-1+3a）-（1-3a）|=|6a-2|≤1，
所以$\frac{1}{6}$≤a≤$\frac{1}{2}$．
又f₃′（x）=-3（x²-a），
在[-1，-$\sqrt{a}$]，[$\sqrt{a}$，1]內(nèi)f′₃（x）＜0，
所以f₃（x）在[-1，-$\sqrt{a}$]，[$\sqrt{a}$，1]內(nèi)為減函數(shù)，
f₃（x）在[-$\sqrt{a}$，$\sqrt{a}$]內(nèi)為增函數(shù)，
只需|f₃（$\sqrt{a}$）-f₃（$\sqrt{a}$）|≤1
化簡可得4a$\sqrt{a}$≤1，解得：a≤$\frac{1}{\root{3}{16}}$．
所以a的取值范圍是$\frac{1}{6}$≤a≤$\frac{1}{\root{3}{16}}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬有一定難度題．