Question

12．如圖，點(diǎn)P是△ABC在平面外的一點(diǎn)，PA=PB=PC=2，AB=BC=AC=1，
（1）求PC與平面ABC所成的角
（2）若E為PC的中點(diǎn)，求BE與平面ABC所成的角．

Answer 1

分析 （1）取AB中點(diǎn)D，連接PD、CD，可證明出平面PCD⊥平面ABC，從而得到∠PCD是直線PC和平面ABC所成的角．在△PCD中，算出PD、CD的長，用余弦定理算出cos∠PCD的值，從而得到∠PCD的度數(shù)，即為PC和平面ABC所成的角．
（2）設(shè)P在平面ABC中的射影為O，E在平面ABC中的射影為O′，O，O′在CD上，則∠EBO′為BE與平面ABC所成的角．

解答 解：（1）取AB中點(diǎn)D，連接PD、CD
∵PA=PB，D為AB中點(diǎn)，
∴PD⊥AB，
同理可得CD⊥AB
∵PD、CD是平面PCD內(nèi)的相交直線
∴AB⊥平面PCD
∵AB?平面ABC，
∴平面PCD⊥平面ABC，
由此可得直線PC在平面ABC內(nèi)的射影是直線CD，
∴∠PCD是直線PC和平面ABC所成的角
∵△PAB中，PA=PB=2，AB=1
∴PD=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
又∵正△ABC中，CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴△PCD中，cos∠PCD=$\frac{4+\frac{3}{4}-\frac{15}{4}}{2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$
∴PC和平面ABC所成的角等于arccos$\frac{\sqrt{3}}{6}$；
（2）設(shè)P在平面ABC中的射影為O，E在平面ABC中的射影為O′，O，O′在CD上，
則∠EBO′為BE與平面ABC所成的角．
由（1）sin∠PCD=$\frac{\sqrt{33}}{6}$，
∴PO=$\frac{\sqrt{33}}{3}$，EO′=$\frac{\sqrt{33}}{6}$，
由三角形中線的求法，4+4BE²=2（4+1），
∴BE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴sin∠EBO′=$\frac{\sqrt{22}}{6}$，
∴BE與平面ABC所成的角等于arcsin$\frac{\sqrt{22}}{6}$．

點(diǎn)評 本題在正三棱錐中求側(cè)棱與底面所成角的大小，著重考查了線面垂直、面面垂直的證明和直線與平面所成角大小的求法等知識，屬于中檔題．