Question

3．已知曲線C：x²=-2py（p＞0），點(diǎn)M是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M且與曲線C相切的直線l的方程為x+y-1=0．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)A、B是曲線C上的兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，直線AB與x軸交于點(diǎn)P（2，0），記OA、OB的斜率為k₁、k₂，試探求k₁、k₂的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （I）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{{x}^{2}=-2py}\end{array}\right.$，化為x²-2px-2p=0，由于直線l與拋物線相切，可得△=0，解得p即可．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為：y=k（x-2），與拋物線方程聯(lián)立化為x²+4kx-8k=0，利用斜率計(jì)算公式、根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答 解：（I）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{{x}^{2}=-2py}\end{array}\right.$，化為x²-2px-2p=0，
∵直線l與拋物線相切，
∴△=4p²-4（-2p）=0，p＞0，解得p=2．
∴曲線C的方程為y²=-4y．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為：y=k（x-2），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=-4y}\\{y=k（x-2）}\end{array}\right.$，化為x²+4kx-8k=0，
∴x₁+x₂=-4k，x₁x₂=-8k．
∴k₁=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=$\frac{-\frac{{x}_{1}^{2}}{4}}{{x}_{1}}$=-$\frac{{x}_{1}}{4}$，同理可得：k₂=$-\frac{{x}_{2}}{4}$．
∴k₁+k₂=$-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4}$=k，k₁•k₂=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{16}$=-$\frac{k}{2}$．
消去k可得：k₁k₂=-$\frac{{k}_{1}+{k}_{2}}{2}$，即$\frac{1}{{k}_{1}}+\frac{1}{{k}_{2}}$=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與拋物線相切的相切、相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立與判別式的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．