Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²-ax+1，其中a∈R，且a≠0．
（1）若f（x）在[-1，1]上不是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）求y=|f（x）|在區(qū)間[0，|a|]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得，-1＜$\frac{a}{2}$＜1，由此求得a的范圍．
（2）由條件利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論求得y=|f（x）|在區(qū)間[0，|a|]上的最大值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²-ax+1在[-1，1]上不是單調(diào)函數(shù)，∴-1＜$\frac{a}{2}$＜1，∴-2＜a＜2．
（2）①當a＜0時，y=|f（x）|在區(qū)間[0，|a|]上遞增，∴y=|f（x）|的最大值為2a²+1．
②當a＞0時，f（0）=f（|a|）=1，f（$\frac{a}{2}$）=1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
當0＜a≤2$\sqrt{2}$ 時，y=|f（x）|的最大值為1．
當a＞2$\sqrt{2}$時，y=|f（x）|的最大值為$\frac{{a}^{2}}{4}$-1．
∴綜上，|f（x）|_max=$\left\{\begin{array}{l}{{2a}^{2}+1，a＜0}\\{1，0＜a≤2\sqrt{2}}\\{\frac{{a}^{2}}{4}-1，a＞2\sqrt{2}}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬中檔題．