Question

已知f（x）=

x

1+x

，數(shù)列{a_n}為首項是1，以f（1）為公比的等比數(shù)列；數(shù)列{b_n}中b₁=

1

2

，且b_n+1=f（b_n），
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式
（2）令cn=an(

1

bn

-1)，{c_n}的前n項和為T_n，證明：對?n∈N₊有1≤T_n＜4．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=

x

1+x

，知f（1）=

1

2

，an=(

1

2

)n-1，由b₁=

1

2

，且b_n+1=f（b_n），得

1

bn+1

-

1

bn

=1，由此能求出數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式．
（2）由cn=an(

1

bn

-1)=n•(

1

2

)  n-1，知Tn=1×(

1

2

)0+2×(

1

2

)1+…+n×(

1

2

)n-1，再由錯位相減法能夠求出結(jié)果．

解答：解：（1）∵f（x）=

x

1+x

，
∴f（1）=

1

1+1

=

1

2

，
∵{a_n}為首項是1，以f（1）為公比的等比數(shù)列，
∴an=(

1

2

)n-1，
∵b₁=

1

2

，且b_n+1=f（b_n），
∴b_n+1=f（b_n）=

bn

bn+1

，兩邊同時取倒數(shù)，
得

1

bn+1

=

bn+1

bn

=1+

1

bn

，
∴

1

bn+1

-

1

bn

=1，
∴{

1

bn

}為等差數(shù)列，
故bn=

1

n+1

．
（2）∵cn=an(

1

bn

-1)=n•(

1

2

)  n-1，
∴Tn=1×(

1

2

)0+2×(

1

2

)1+…+n×(

1

2

)n-1，

1

2

Tn=1×

1

2

+2×(

1

2

)2+…+n×(

1

2

)n，
兩式相減整理，得Tn=4-

n+2

2n-1

，
∵

n+2

2n-1

＞0，
∴Tn=4-

n+2

2n-1

＜4，
∵Tn+1-Tn=

n+2

2n-1

-

n+3

2n

=

1

2 n

[2n+4-(n+3)]
=

1

2 n

(n+1)＞0，
∴{T_n}單調(diào)遞增，
∴{T_n}_min=T₁=1，
所以1≤T_n＜4．

點評：本試題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式的求解以及數(shù)列求和的綜合運用．解決該試題的關(guān)鍵是整體構(gòu)造等差數(shù)列法，以及錯位相減法的準(zhǔn)確運用．