Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，兩定點A，B滿足|

OA

|=|

OB

|=

OA

•

OB

=2，則點集{P|

OP

=λ

OA

+μ

OB

，λ≥0，μ≥0，λ+μ≤1}所表示區(qū)域的面積為

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃,二元一次不等式（組）與平面區(qū)域,平面向量數(shù)量積的運算

專題：計算題,平面向量及應(yīng)用

分析：由兩定點A，B滿足|

OA

|=|

OB

|=

OA

•

OB

=2，說明O，A，B三點構(gòu)成邊長為2的等邊三角形，設(shè)出兩個定點的坐標(biāo)，再設(shè)出P點坐標(biāo)，由平面向量基本定理，把P的坐標(biāo)用A，B的坐標(biāo)及λ，μ表示，把不等式0≤λ+μ≤1去絕對值后可得線性約束條件，畫出可行域可求點集P所表示區(qū)域的面積．

解答： 解：由兩定點A，B滿足|

OA

|=|

OB

|=

OA

•

OB

=2，說明O，A，B三點構(gòu)成邊長為2的等邊三角形．或∠AOB=120°的等腰三角形，
不妨O，A，B三點構(gòu)成邊長為2的等邊三角形．
設(shè)A（

3

，-1），B（

3

，1）．再設(shè)P（x，y）．
由

OP

=λ

OA

+μ

OB

，得：（x，y）=（

3

λ，-λ）+（

3

μ，μ）=（

3

（λ+μ），μ-λ）．
所以

λ+μ= 3 3 x μ-λ=y

，解得

λ= 3 6 x- 1 2 y μ= 3 6 x+ 1 2 y

①．
由λ+μ≤1．
所以①等價于

3 6 x- 1 2 y≥0 3 6 x+ 1 2 y≥0 0＜x≤ 3

可行域如圖中矩形ABCD及其內(nèi)部區(qū)域，
則區(qū)域面積為

3

．
故答案為：

3

．

點評：本題考查了平面向量的基本定理及其意義，考查了二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答此題的關(guān)鍵在于讀懂題意，屬中檔題．