在△ABC中，已知角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．向量
m
=（cosB，cosC），
n
=（b，2a-c）且向量
m
與
n
共線．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若b=
3
，求△ABC的面積的最大值．
分析：（Ⅰ）根據(jù)平面向量平行滿足的條件得到一個(gè)關(guān)系式，根據(jù)正弦定理及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，即可得到cosC的值．
（Ⅱ）直接利用余弦定理以及基本不等式求出ac的范圍，然后求出三角形的面積的最大值．
解答：解：（Ⅰ）向量
m
與
n
共線，得bcosC=（2a-c）cosB，
∴bcosC+ccosB=2acosB，
由正弦定理，得：sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB，
sin（B+C）=2sinAcosB，
又B+C=π-A，
∴sinA=2sinAcosB，sinA≠0，
cosB=
1
2
；
（Ⅱ）若b=
3
，
1
2
=cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+c2-3
2ac
，
∴ac=a2+c2-3，
∴ac≤3，
∴△ABC的面積S=
1
2
acsinB=
3
4
ac≤
3
3
4
．
三角形面積的最大值為：
3
3
4
．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用余弦定理及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)求值，掌握平面向量平行時(shí)滿足的條件，是一道中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若A，B，C成等差數(shù)列，且b=
3
，c=
2
，則B=
 
，A=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知角A為銳角，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，sinA=
2
2
3
．
（1）求tan2
B+C
2
+sin2
A
2
的值；
（2）若a=2
2
，S△ABC=
2
，求b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知角A、B、C對(duì)應(yīng)的三邊分別為a，b，c，滿足（a+b+c）（a+b-c）=3ab，則角C的大小等于
π
3
π
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知角A，B，C滿足2B=A+C，且tanA和tanB是方程x2-λx+λ+1=0的兩根，若△ABC的面積為3+
3
，試求△ABC的三邊的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且a2+b2-c2=
3
ab．
（1）求角C的大小；
（2）如果0＜A≤
2π
3
，m=2cos2
A
2
-sinB-1，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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