Question

6．甲、乙兩地準備開通全線長1750km的高鐵．已知運行中高鐵每小時所需的能源費用W（萬元）和速度V（km/h）的立方成正比，當速度為100km/h時，能源費用是每小時0.06萬元，其余費用（與速度無關(guān)）是每小時3.24萬元，已知最大速度不超過C（km/h）（C為常數(shù)，0＜C≤400）．
（1）求高鐵運行全程所需的總費用y與列車速度v的函數(shù)關(guān)系；
（2）當高鐵速度為多少時，運行全程所需的總費用最低？

Answer 1

分析 （1）先設(shè)出函數(shù)關(guān)系式，代入速度與每小時燃料費的關(guān)系值求出比例系數(shù)即可；
（2）根據(jù)題設(shè)要求設(shè)出行駛總費用與速度之間的函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的導數(shù)去求函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）設(shè)能源費用每小時是w千元，車速是vkm/h，依題意有w=kv³（k為比例系數(shù)），
將v=100，w=0.06代入得k=6×10^-8．于是有w=6×10^-8v³．
因此列車從甲地行駛到乙地，所需的總費用為y=$\frac{1750}{v}$（w+3.24）=1750（6×10^-8v²+$\frac{3.24}{v}$），（0＜v≤C）（C為常數(shù)，0＜C≤400）．
（2）由（1）化簡得y=105（10^-6v²+$\frac{54}{v}$），
設(shè)f（x）=10^-6x²+$\frac{54}{x}$，x＞0，
所以f′（x）=2×10^-6x-$\frac{54}{{x}^{2}}$，
當f′（x）＞0時，解得x＞300，當f′（x）＜0時，解得0＜x＜300，
所以0＜C＜300，函數(shù)在（0，C]上單調(diào)遞減，v=C時，運行全程所需的總費用最低；
300≤C≤400時，v=300，運行全程所需的總費用最低．

點評 本題是實際應(yīng)用題，考查學生建立函數(shù)模型的能力，以及利用函數(shù)的導數(shù)研究給定區(qū)間上函數(shù)的最值問題，是高考的�？贾�識點．