Question

3．已知函數(shù)f（x）=asinx+bcosx，若f（x）≤f（$\frac{π}{4}$）對(duì)x∈R恒成立，則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[2k$π-\frac{3π}{4}$，2k$π+\frac{π}{4}$]，k∈Z  （k∈Z）

Answer 1

分析 由題意，當(dāng)x=$\frac{π}{4}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最值f（$\frac{π}{4}$），即$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+$\frac{\sqrt{2}}{2}$b=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，化為a=b，從而可求f（x）=$\sqrt{2}a$sin（x+$\frac{π}{4}$），利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 解：∵由題意函數(shù)f（x）=asinx+bcosx，恒有f（x）≤f（$\frac{π}{4}$），
∴可知：當(dāng)x=$\frac{π}{4}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值f（$\frac{π}{4}$），即$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+$\frac{\sqrt{2}}{2}$b=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，從而可知a、b均為正值，
化為a=b，
∴則f（x）=a（sinx+cosx）=$\sqrt{2}a$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[2k$π-\frac{3π}{4}$，2k$π+\frac{π}{4}$]，k∈Z．
故答案為：[2k$π-\frac{3π}{4}$，2k$π+\frac{π}{4}$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察了兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．