【題目】已知數(shù)列的前項和為,且.

(1)求數(shù)列的通項公式,并寫出推理過程;

(2)令,,試比較的大小,并給出你的證明.

【答案】;(,證明見解析.

【解析】試題分析:()由題意可根據(jù)數(shù)列通項與前項和之間的關(guān)系來進(jìn)行求解,即當(dāng)時,;當(dāng)時,,這時可得到的關(guān)系式,根據(jù)關(guān)系式的特點,可通過構(gòu)造換元,令,從而得出數(shù)列是等差數(shù)列,先求出數(shù)列的通項,再求出數(shù)列的通項;()根據(jù)數(shù)列的特點可利用錯位相減法求出,接著利用作差法進(jìn)行比較,根據(jù)差式的特點這里可采用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行猜想證明,詳見解析.

試題解析:()在中,令,可得,即

當(dāng)時,,,

,即,

設(shè),則,即當(dāng)時,

,數(shù)列是首項和公差均為1的等差數(shù)列.

于是

)由()得,

所以,

①-②

,則

于是只要比較的大小即可,

1)當(dāng)時,,此時,即,

2)猜想:當(dāng)時,,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

當(dāng)時,不等式成立;假設(shè)時,不等式成立,即

則當(dāng)時,,

所以當(dāng)時,不等式成立,

可知,當(dāng)時,成立,

于是,當(dāng)時,,即

另證:要證,只要證:,只要證:,

由均值不等式得:,

所以,于是當(dāng)時,,即

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知函數(shù),其中為常數(shù),為自然對數(shù)的底數(shù).

1)當(dāng)時,求的最大值;

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(1)求樣本容和頻率分布直方圖中的值并求出抽取學(xué)生的平均分;

(2)在選取的樣本中,從競賽成績在分以上(含)的學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生參加“全市中數(shù)學(xué)競賽”求所抽取的名學(xué)生中至少有一人得分在內(nèi)的概率.

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【題目】已知數(shù)列的前項和為,且.

(1)求數(shù)列的通項公式,并寫出推理過程;

(2)令,,試比較的大小,并給出你的證明.

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【題目】如圖,某城市有一塊半徑為40 m的半圓形綠化區(qū)域以O(shè) 為圓心,AB為直徑,現(xiàn)計劃對其進(jìn)行改建.在AB的延長線上取點D,OD=80 m,在半圓上選定一點C,改建后的綠化區(qū)域由扇形區(qū)域AOC和三角形區(qū)域COD組成,其面積為S m2.設(shè)∠AOCx rad.

1寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式Sx,并指出x的取值范圍;

2試問∠AOC多大時,改建后的綠化區(qū)域面積S取得最大值.

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【題目】某中學(xué)將100名高二文科生分成水平相同的甲、乙兩個“平行班”,每班50人.陳老師采用A,B兩種不同的教學(xué)方式分別在甲、乙兩個班進(jìn)行教改實驗.為了了解教學(xué)效果,期末考試后,陳老師對甲、乙兩個班級的學(xué)生成績進(jìn)行統(tǒng)計分析,畫出頻率分布直方圖(如下圖).記成績不低于90分者為“成績優(yōu)秀”.

(Ⅰ)根據(jù)頻率分布直方圖填寫下面2×2列聯(lián)表;

甲班(A方式)

乙班(B方式)

總計

成績優(yōu)秀

成績不優(yōu)秀

總計

(Ⅱ)判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為:“成績優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān)?

附:.

P(K2k)

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

k

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

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