Question

如圖⊙O的直徑為CA，OB⊥CA，M在OA上，連接BM交⊙O于N，以N為切點(diǎn)，作⊙O的切線交CA延長(zhǎng)線于P．
（Ⅰ）求證PM=PN；
（Ⅱ）若⊙O的半徑為2，PM=

5

，求AM長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：立體幾何

分析：（Ⅰ）連接ON，根據(jù)切線的性質(zhì)可得ON⊥PN，由同角的余角相等，可得∠PMN=∠PNM，進(jìn)而得到PM=PN；
（Ⅱ）：（Ⅱ）設(shè)AM=x，則PA=

5

-x，PC=4+

5

-x，根據(jù)PM=PN=

5

，結(jié)合切割線定理，構(gòu)造關(guān)于x的方程，解方程，可得AM的長(zhǎng)．

解答： 證明：（Ⅰ）連接ON，

∵PN與圓O相切，N為切點(diǎn)，
∴ON⊥PN，
故∠PNM+∠ONM=90°，
又∵OB⊥CA，
∴∠OMB+∠OBM=90°，
又∵∠OBM=∠ONM，
∴∠OMB=∠PNM，即∠PMN=∠PNM，
∴PM=PN；
解：（Ⅱ）設(shè)AM=x，
∵⊙O的半徑為2，PM=PN=

5

，
∴PA=

5

-x，PC=4+

5

-x，
由切割線定理可得：PN²=PA•PB，
即5=（

5

-x）（4+

5

-x），
解得x=

5

-1，或x=

5

+5（舍），
故AM=

5

-1

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是切線的性質(zhì)，切割線定理，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．