【題目】已知函數(shù)f(x)=(ax+1)ex﹣(a+1)x﹣1.
(1)求y=f(x)在(0,f(0))處的切線(xiàn)方程;
(2)若x>0時(shí),不等式f(x)>0恒成立,求a的取值范圍.
【答案】
(1)解:∵f'(x)=(ax+1+a)ex﹣(a+1),
∴f'(0)=0,
因此y=f(x)在(0,f(0))處的切線(xiàn)l的斜率為0,
又f(0)=0,
∴y=f(x)在(0,f(0))處的切線(xiàn)方程為y=0;
(2)解:當(dāng)x>0時(shí),f(x)=(ax+1)ex﹣(a+1)x﹣1>0恒成立,
令g(x)=f′(x)=(ax+1+a)ex﹣(a+1),則g′(x)=(ax+1+2a)ex,
若a≥0,則g′(x)=(ax+1+2a)ex>0,g(x)=(ax+1+a)ex﹣(a+1)在(0,+∞)上為增函數(shù),
又g(0)=0,∴g(x)>0在(0,+∞)上恒成立,即f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),
由f(0)=0,∴x>0時(shí),不等式f(x)>0恒成立;
若a<0,當(dāng)a 時(shí),g′(x)<0在(0,+∞)上成立,g(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),
∵g(0)=0,∴g(x)<0在(0,+∞)上恒成立,即f(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),
由f(0)=0,∴x>0時(shí),不等式f(x)>0不成立;
當(dāng) <a<0時(shí),x∈(0, )時(shí),g′(x)>0,x∈( )時(shí),g′(x)<0,
g(x)在(0,+∞)上有最大值為g( ),當(dāng)x→+∞時(shí),g(x)<0,即f′(x)<0,
∴存在x0∈( ),使f(x)<0,即x>0時(shí),不等式f(x)>0不恒成立.
綜上,a的取值范圍為[0,+∞).
【解析】(1)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),得到f'(0)=0,再求出f(0)=0,利用直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式求得y=f(x)在(0,f(0))處的切線(xiàn)方程;(2)令g(x)=f′(x)=(ax+1+a)ex﹣(a+1),則g′(x)=(ax+1+2a)ex , 然后對(duì)a分類(lèi)分析,當(dāng)a≥0,則g′(x)>0,g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),結(jié)合g(0)=0,可得g(x)>0在(0,+∞)上恒成立,即f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),再由f(0)=0,可得x>0時(shí),不等式f(x)>0恒成立;當(dāng)a<0時(shí),由導(dǎo)數(shù)分析x>0時(shí),不等式f(x)>0不恒成立,由此可得a的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】f(x)是定義在非零實(shí)數(shù)集上的函數(shù),f′(x)為其導(dǎo)函數(shù),且x>0時(shí),xf′(x)﹣f(x)<0,記a= ,b= ,c= ,則( )
A.a<b<c
B.c<a<b
C.b<a<c
D.c<b<a
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于M、N兩點(diǎn),自M、N向準(zhǔn)線(xiàn)l作垂線(xiàn),垂足分別為M1、N1.
(1)求;
(2)記△FMM1、△FM1N1、△FNN1的面積分別為、、,求
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】學(xué)校某文具商店經(jīng)營(yíng)某種文具,商店每銷(xiāo)售一件該文具可獲利3元,若供大于求則削價(jià)處理,每處理一件文具虧損1元;若供不應(yīng)求,則可以從外部調(diào)劑供應(yīng),此時(shí)每件文具僅獲利2元.為了了解市場(chǎng)需求的情況,經(jīng)銷(xiāo)商統(tǒng)計(jì)了去年一年(52周)的銷(xiāo)售情況.
銷(xiāo)售量(件) | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
周數(shù) | 2 | 4 | 8 | 13 | 13 | 8 | 4 |
以去年每周的銷(xiāo)售量的頻率為今年每周市場(chǎng)需求量的概率.
(1)要使進(jìn)貨量不超過(guò)市場(chǎng)需求量的概率大于0.5,問(wèn)進(jìn)貨量的最大值是多少?
(2)如果今年的周進(jìn)貨量為14,寫(xiě)出周利潤(rùn)Y的分布列;
(3)如果以周利潤(rùn)的期望值為考慮問(wèn)題的依據(jù),今年的周進(jìn)貨量定為多少合適?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲C的極坐標(biāo)方程ρ=2sinθ,設(shè)直線(xiàn)L的參數(shù)方程 ,(t為參數(shù))設(shè)直線(xiàn)L與x軸的交點(diǎn)M,N是曲線(xiàn)C上一動(dòng)點(diǎn),求|MN|的最大值 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 公比q>0,S2=2a2﹣2,S3=a4﹣2.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)bn= ,Tn為{bn}的前n項(xiàng)和,求T2n .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為的等比數(shù)列,且前項(xiàng)和為.
(1)用表示;
(2)是否存在自然數(shù)和,使得成立?
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