Question

10．如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，D為CC₁中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A-A₁D-B的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO，以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，過(guò)O作BB₁平行線(xiàn)為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AB₁⊥平面A₁BD．
（Ⅱ）求出平面AA₁D的法向量和平面A₁DB的法向量，利用向量法能求出二面角A-A₁D-B的正弦值．

解答 證明：（Ⅰ取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO，
以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，過(guò)O作BB₁平行線(xiàn)為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，$\sqrt{3}$），B₁（1，2，0），A₁（0，2，$\sqrt{3}$），B（1，0，0），D（-1，1，0），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（1，2，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（1，-2，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-1，-1，-$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$•$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=1-4+3=0，$\overrightarrow{{AB}_{1}}$•$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=-1-2+3=0，
∴AB₁⊥A₁B，AB₁⊥A₁D，
∵A₁B∩A₁D=A₁，
∴AB₁⊥平面A₁BD．
解：（Ⅱ）$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DA}$=（1，-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DB}$=（2，-1，0），
設(shè)平面AA₁D的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=x+y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=x-y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，0，-1$），
設(shè)平面A₁DB的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=a+b+\sqrt{3}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=2a-b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，2，-$\sqrt{3}$），
設(shè)二面角A-A₁D-B的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{4}•\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
∴二面角A-A₁D-B的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．