Question

1．已知函數(shù)$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$，其中$\overrightarrow m=（sinωx+cosωx，\sqrt{3}cosωx）$，$\overrightarrow n=（cosωx-sinωx，2sinωx）（ω＞0）$．若函數(shù)f（x）相鄰兩對稱軸的距離等于$\frac{π}{2}$．
（1）求ω的值；并求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{0，\frac{π}{2}}]$的值域；
（2）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若$f（A）=1，a=\sqrt{3}，b+c=3$（b＞c），求邊b、c的長．

Answer 1

分析 （1）首先，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，化簡函數(shù)f（x）的解析式，然后，結(jié)合周期公式，確定ω的值再結(jié)合x的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解其值域．
（2）根據(jù)（1），先確定A的值，然后，結(jié)合余弦定理，求解邊b，c的長．

解答 解：（1）$f（x）=（{cos^2}ωx-{sin^2}ωx）+2\sqrt{3}sinωxcosωx=2sin（2ωx+\frac{π}{6}）$，$T=\frac{2π}{2ω}=π，ω=1，f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，
∴$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，可得：sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，
∴f（x）的值域是[-1，2]．
（2）∵$f（A）=2sin（2A+\frac{π}{6}）=1$，
∴$sin（2A+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$．
∵0＜A＜π，
∴$2A+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$，
∴$A=\frac{π}{3}$．
∴${a^2}={b^2}+{c^2}-2bccos\frac{π}{3}$=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，
∵b+c=3，①b＞c，a=$\sqrt{3}$，可得：bc=2，②
∴解得：b=2，c=1．
故b的長為2，c的長為1．

點評 本題綜合考查了三角恒等變換公式，二倍角公式等知識，余弦定理及其運用等，屬于中檔題．