Question

6．已知四棱錐S-ABCD中，底面是直角梯形，AB=2，BC=CD=1，BC⊥AB，側(cè)面SAD是以∠ASD為直角的等腰三角形，且側(cè)面SAD與底面ABCD垂直．
（I）求證：SA⊥BD；
（II）若點E為側(cè)棱SB上的一動點，問點E在何位置時，二面角E-AD-S的余弦值為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得AD⊥DB，再由面面垂直的性質(zhì)可得BD⊥平面SAD，進(jìn)一步得到SA⊥BD；
（Ⅱ）過D點在平面SAD內(nèi)作AD的垂線，可得該垂線與底面ABCD垂直，以這條垂線為z軸，DA、DB分別為x軸和y軸，建立空間直角坐標(biāo)系．求出所用點的坐標(biāo)，設(shè)$\overrightarrow{SE}=λ\overrightarrow{SB}$，把E的坐標(biāo)用含有λ的代數(shù)式表示，再由二面角E-AD-S的余弦值為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$求得λ值得答案．

解答 （Ⅰ）證明：連接BD，則$AD=BD=\sqrt{2}$，又AB=2，∴AD⊥BD，
又側(cè)面SAD⊥底面ABCD，平面SAD∩平面面ABCD=AD，∴BD⊥平面SAD，
∵SA?平面SAD，∴SA⊥BD；
（Ⅱ）解：過D點在平面SAD內(nèi)作AD的垂線，∵側(cè)面SAD垂直底面ABCD，∴該垂線與底面ABCD垂直，
以這條垂線為z軸，DA、DB分別為x軸和y軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
∵AB=2，BC=CD=1，
∴$A（{\sqrt{2}，0，0}）$，$B（{0，\sqrt{2}，0}）$，$S（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，D（0，0，0），
由（I）可知，平面SAD的法向量$\overrightarrow m=（{0，1，0}）$，
設(shè)平面ADE的法向量$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，$\overrightarrow{SB}=（{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{2}，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，
設(shè)$\overrightarrow{SE}=λ\overrightarrow{SB}$，可得E（$\frac{\sqrt{2}}{2}（1-λ）$，$\sqrt{2}λ$，$\frac{\sqrt{2}}{2}（1-λ）$），$\overrightarrow{DA}=（{\sqrt{2}，0，0}）$，$\overrightarrow{DE}=（{（{1-λ}）\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{2}λ，（{1-λ}）\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=\sqrt{2}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=\frac{\sqrt{2}}{2}（1-λ）x+\sqrt{2}λy+\frac{\sqrt{2}}{2}（1-λ）z=0}\end{array}\right.$，解得$\overrightarrow{n}=（0，1-λ，-2λ）$，
由二面角E-AD-S的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，得|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{{|{\overrightarrow m•\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow m}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{1-λ}{{\sqrt{{{（{1-λ}）}^2}+{{（{-2λ}）}^2}}}}=\frac{1-λ}{{\sqrt{5{λ^2}-2λ+1}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
解得$λ=\frac{1}{2}$，即E為SB的中點．

點評 本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，考查了空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求二面角的平面角，是中檔題．