Question

設(shè)F₁、F₂分別為雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的左右焦點(diǎn)，A為雙曲線的左頂點(diǎn)，以F₁F₂為直徑的圓交雙曲線某條漸近線于M、N兩點(diǎn)，且滿足∠MAN=120°，則該雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先求出M，N的坐標(biāo)，再利用余弦定理，求出a，c之間的關(guān)系，即可得出雙曲線的離心率．

解答： 解：設(shè)以F₁F₂為直徑的圓與漸近線y=

b

a

x相交與點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x₀，y₀）（x₀＞0），
根據(jù)對(duì)稱性得N點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x₀，-y₀），
∴

y0= b a x0 x02+y02=c2

；
解得M（a，b），N（-a，-b）；
又∵A（-a，0），且∠MAN=120°，
∴由余弦定理得4c²=（a+a）²+b²+b²-2

(a+a)2+b2

•bcos 120°，
化簡得7a²=3c²，
∴e=

c

a

=

21

3

．
故答案為：

21

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)熟記它的幾何性質(zhì)是什么，屬于基礎(chǔ)題．