Question

已知f（x）=

3

（cos²x-sin²x）-2cos²（x+

π

4

）+1的定義域?yàn)閇0，

π

2

]．
（1）求f（x）的最小值．
（2）△ABC中，A=45°，b=3

2

，邊a的長(zhǎng)為6，求角B大小及△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）先化簡(jiǎn)的解析式，根據(jù)x的范圍確定2x+

π

3

的范圍，從而根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的最小值．
（2）先由正弦定理求得sinB，進(jìn)而求得B，進(jìn)而求得C，利用三角形面積公式求得答案．

解答： 解．（1）f（x）=

3

cos2x-[1+cos（2x+

π

2

）]+1=

3

cos2x+sin2x=2sin（2x+

π

3

）
由0≤x≤

π

2

，得

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，得-

3

2

≤sin（2x+

π

2

）≤1，
所以函數(shù)f（x）的最小值為2×（-

3

2

）=-

3

，此時(shí)x=

π

2

．
（2）△ABC中，A=45°，b=3

2

，a=6，故sinB=

bsinA

a

=

3 2 × 2 2

6

=

1

2

（正弦定理），
再由b＜a知B＜A=45°，故B=30°，于是C=180°-A-B=105°，從而△ABC的面積S=

1

2

absinC=

9( 3 +1)

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理的應(yīng)用．綜合性強(qiáng)，難度適中．