Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)，G，H，M分別是棱AD，DD₁，D₁A₁，A₁A，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在四邊形EFGH的四邊及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)N只需滿足條件________時(shí)，就有MN⊥A₁C₁；當(dāng)N只需滿足條件________時(shí)，就有MN∥平面B₁D₁C．

Answer 1

點(diǎn)N在EG上    點(diǎn)N在EH上
分析：（1）連接EG、EM、GM、BD，利用正方形AA₁D₁D對(duì)邊中點(diǎn)連線，得到EG∥AA₁，結(jié)合AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁得到EG⊥平面A₁B₁C₁D₁，從而A₁C₁⊥EG．再利用△ABD中的中位線EM∥BD，結(jié)合B₁D₁∥BD，得到EM∥B₁D₁，再由A₁C₁⊥B₁D₁得到A₁C₁⊥EM，最后利用線面垂直的判定定理得到A₁C₁⊥平面EGM．因此，當(dāng)點(diǎn)N在EG上時(shí)，直線MN?平面EGM，有MN⊥A₁C₁成立；
（2）連接MH、A₁B，再（1）的基礎(chǔ)上有EM∥B₁D₁，結(jié)合線面平行的判定定理可得EM∥平面B₁D₁C，同理可得MH∥平面B₁D₁C．最后利用平面與平面平行的判定定理，得到平面EHM∥平面B₁D₁C，所以當(dāng)點(diǎn)N在EH上時(shí)，MN?平面EHM，有MN∥平面B₁D₁C成立．
解答：（1）連接EG、EM、GM、BD
∵正方形AA₁D₁D中，E、G分別為AD、A₁D₁的中點(diǎn)
∴EG∥AA₁
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁
∴EG⊥平面A₁B₁C₁D₁
∵A₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁
∴A₁C₁⊥EG
∵在△ABD中，EM是中位線
∴EM∥BD
∵BB₁∥DD₁且BB₁=DD₁
∴四邊形BB₁D₁D是平行四邊形，B₁D₁∥BD
∴EM∥B₁D₁
∵正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁
∴A₁C₁⊥EM
∵EM∩EG=E，EM、EG?平面EGM
∴A₁C₁⊥平面EGM
因此，當(dāng)點(diǎn)N在EG上時(shí)，直線MN?平面EGM，有MN⊥A₁C₁成立；
（2）連接MH、A₁B
根據(jù)（1）的證明，EM∥B₁D₁
∵EM?平面B₁D₁C，B₁D₁?平面B₁D₁C，
∴EM∥平面B₁D₁C
同理可得MH∥平面B₁D₁C
∵EM∩MH=M，EM、MH?平面EHM
∴平面EHM∥平面B₁D₁C
∴當(dāng)點(diǎn)N在EH上時(shí)，MN?平面EHM，有MN∥平面B₁D₁C成立．
故答案為：點(diǎn)N在EG上，點(diǎn)N在EH上
點(diǎn)評(píng)：本題以正方體中的直線與直線平行、直線與直線垂直為例，考查了空間的線面平行和線面垂直等位置關(guān)系的證明，屬于中檔題．