已知拋物線的焦點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn),且橢圓的長軸長為4，M、N是橢圓上的的動(dòng)點(diǎn).

（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足：，直線與的斜率之積為，證明：存在定點(diǎn)使

得為定值，并求出的坐標(biāo)；

（3）若在第一象限，且點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，垂直于軸于點(diǎn)，連接 并延長交橢圓于點(diǎn)，記直線的斜率分別為，證明：.

 

【答案】

（1）；（2）存在使得;（3）證明過程詳見試題解析.

【解析】

試題分析：（1）由雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)重合求出橢圓中的，再由，求出所求橢圓方程為；（2）先設(shè)，由,結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以得到使得為定值；（3）要證明就是要考慮,詳見解析.

試題解析：（1）由題設(shè)可知：因?yàn)閽佄锞�的焦點(diǎn)為，

所以橢圓中的又由橢圓的長軸為4得

故

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

（2）設(shè)，

由可得：

由直線OM與ON的斜率之積為可得：

，即

由①②可得：

M、N是橢圓上的點(diǎn)，故

故，即

由橢圓定義可知存在兩個(gè)定點(diǎn)，

使得動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離和為定值;

（3）設(shè)，由題設(shè)可知 ，

由題設(shè)可知斜率存在且滿足.

將③代入④可得：⑤

點(diǎn)在橢圓，

故

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•浦東新區(qū)二模）（1）設(shè)橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1與雙曲線C2：9x2-
9y2
8
=1有相同的焦點(diǎn)F1、F2，M是橢圓C1與雙曲線C2的公共點(diǎn)，且△MF1F2的周長為6，求橢圓C1的方程；
我們把具有公共焦點(diǎn)、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”．
（2）如圖，已知“盾圓D”的方程為y2=
4x            (0≤x≤3)
-12(x-4)  (3＜x≤4)
．設(shè)“盾圓D”上的任意一點(diǎn)M到F（1，0）的距離為d1，M到直線l：x=3的距離為d2，求證：d1+d2為定值； 
（3）由拋物線弧E1：y2=4x（0≤x≤
2
3
）與第（1）小題橢圓弧E2：
x2
a2
+
y2
b2
=1（
2
3
≤x≤a）所合成的封閉曲線為“盾圓E”．設(shè)過點(diǎn)F（1，0）的直線與“盾圓E”交于A、B兩點(diǎn)，|FA|=r1，|FB|=r2且∠AFx=α（0≤α≤π），試用cosα表示r1；并求
r1
r2
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•浦東新區(qū)三模）已知橢圓C的長軸長是焦距的兩倍，其左、右焦點(diǎn)依次為F1、F2，拋物線M：y2=4mx（m＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于F1，橢圓C與拋物線M的一個(gè)交點(diǎn)為P．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，直線l過焦點(diǎn)F2，與拋物線M交于A、B兩點(diǎn)，若弦長|AB|等于△PF1F2的周長，求直線l的方程；
（3）由拋物線弧y2=4mx(0≤x≤
2m
3
)和橢圓弧
x2
4m2
+
y2
3m2
=1(
2m
3
≤x≤2m)
（m＞0）合成的曲線叫“拋橢圓”，是否存在以原點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)A1、A2落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形OA1A2，若存在，求出兩直角邊所在直線的斜率；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年上海市浦東新區(qū)高三4月高考預(yù)測（二模）理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（1）設(shè)橢圓：與雙曲線：有相同的焦點(diǎn)，是橢圓與雙曲線的公共點(diǎn)，且的周長為，求橢圓的方程；

我們把具有公共焦點(diǎn)、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”.

（2）如圖，已知“盾圓”的方程為.設(shè)“盾圓”上的任意一點(diǎn)到的距離為，到直線的距離為，求證：為定值；

 

（3）由拋物線弧：（）與第（1）小題橢圓弧：（）所合成的封閉曲線為“盾圓”.設(shè)過點(diǎn)的直線與“盾圓”交于兩點(diǎn)，，且（），試用表示；并求的取值范圍.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本題滿分18分）第一題滿分4分，第二題滿分6分，第三題滿分8分．

已知橢圓的長軸長是焦距的兩倍，其左、右焦點(diǎn)依次為、，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于，橢圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為.

（1）當(dāng)時(shí)，求橢圓的方程；

（2）在（1）的條件下，直線過焦點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)，若弦長等于的周長，求直線的方程；

（3）由拋物線弧和橢圓弧

（）合成的曲線叫“拋橢圓”,是否存在以原點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形，若存在，求出兩直角邊所在直線的斜率；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本題滿分18分）第一題滿分4分，第二題滿分6分，第三題滿分8分．

已知橢圓的長軸長是焦距的兩倍，其左、右焦點(diǎn)依次為、，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于，橢圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為.

（1）當(dāng)時(shí)，求橢圓的方程；

（2）在（1）的條件下，直線過焦點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)，若弦長等于的周長，求直線的方程；

（3）由拋物線弧和橢圓弧

（）合成的曲線叫“拋橢圓”,是否存在以原點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形，若存在，求出兩直角邊所在直線的斜率；若不存在，說明理由.

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