Question

（本題滿(mǎn)分18分）第一題滿(mǎn)分4分，第二題滿(mǎn)分6分，第三題滿(mǎn)分8分．

已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的兩倍，其左、右焦點(diǎn)依次為、，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于，橢圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為.

（1）當(dāng)時(shí)，求橢圓的方程；

（2）在（1）的條件下，直線過(guò)焦點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)，若弦長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)，求直線的方程；

（3）由拋物線弧和橢圓弧

（）合成的曲線叫“拋橢圓”,是否存在以原點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形，若存在，求出兩直角邊所在直線的斜率；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

解：（1）設(shè)橢圓的實(shí)半軸長(zhǎng)為a,短半軸長(zhǎng)為b，半焦距為c,

當(dāng)=1時(shí)，由題意得，a=2c=2,, 

所以橢圓的方程為.（4分）

（2）依題意知直線的斜率存在，設(shè)，由得，，由直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，可知.設(shè)，由韋達(dá)定理得，則（6分）又的周長(zhǎng)為，所以，          （8分）

解得，從而可得直線的方程為        （10分）

（3）由題意得，“拋橢圓”由拋物線弧和橢圓弧合成，且、。

假設(shè)存在為等腰直角三角形，由所在曲線的位置做如下3種情況討論：

①當(dāng)同時(shí)在拋物線弧上時(shí)，由、的斜率分別為，比為鈍角，顯然與題設(shè)矛盾. 此時(shí)不存在                （12分）

② 當(dāng)同時(shí)在橢圓弧上時(shí)，由橢圓與等腰直角三角形的對(duì)稱(chēng)性知，則兩直角邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng).即直線的斜率為1，直線的斜率為，

得符合題意；此時(shí)存在（15分）

③ 不妨設(shè)當(dāng)在拋物線弧上，在橢圓弧上時(shí)，

于是設(shè)直線的方程為（其中），將其代入得；由，直線的方程為，同理代入橢圓弧方程得,

由得,解得與矛盾，此時(shí)不存在。

因此，存在以原點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形，兩直角邊所在直線的斜率分別為1和.（18分）