Question

（本題滿分12分）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線分別與軸和軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若且.

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）過(guò)的直線與軌跡交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）（，1].

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的一般步驟：1．建系——建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．2．設(shè)點(diǎn)——設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x，y)．3．列式——列出動(dòng)點(diǎn)P所滿足的關(guān)系式．4．代換——依條件式的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡(jiǎn)．5．證明——證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．

（Ⅱ）與圓錐曲線相關(guān)的最值、范圍問題綜合性較強(qiáng)，解決的思路有兩種：一是由題目中的限制條件求范圍，如直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中Δ的范圍，方程中變量的范圍，角度的大小等；二是將要討論的幾何量如長(zhǎng)度、面積、代數(shù)式等用參數(shù)表示出來(lái)，再對(duì)表達(dá)式進(jìn)行討論，應(yīng)用不等式、三角函數(shù)等知識(shí)求最值，在解題過(guò)程中注意向量，不等式的應(yīng)用．

試題解析：（1）∵過(guò)點(diǎn)P（x，y）的直線分別與x軸和y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，∴Q（-x，y），設(shè)A（a， 0），B（0，b），

∵O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∴=（x，y-b），=（a-x，-y），=（-x，y），，

∵且，

∴，

解得點(diǎn)P的軌跡M的方程為．

（2）設(shè)過(guò)F（2，0）的直線方程為y=kx-2k，

聯(lián)立，得（3k2+1）x2-12k2x+12k2-3=0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=，

=（x1-2，y1），=（x2-2，y2），

∴=（x1-2）（x2-2）+y1y2=（1+k2）（x1-2）（x2-2）=（1+k2）[x1x2-2（x1+x2）+4]

=（1+k2）（-+4）==+，

∴當(dāng)k2→∞的最小值→；當(dāng)k=0時(shí)，的最大值為1．

∴的取值范圍是（，1]．

考點(diǎn)：軌跡方程、圓錐曲線中的范圍、最值問題