Question

若函數(shù)f（x）=e^1-|x-m|-emx²的圖象與函數(shù)g（x）=x+1圖象有公共點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：兩圖象有公共點(diǎn)問題，可以嘗試從圖象角度著手，也可嘗試轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題．

解答： 解：題意等價(jià)于函數(shù)h（x）=e^1-|x-m|-emx²-x-1有零點(diǎn)．
當(dāng)0＜m≤1時(shí)，h（0）=e^1-m-1≥0，h（1）=e^m-em-2，令H（m）=e^m=em-2，m∈（0，1]，則H′（m）=e^m-e≤0⇒H（m）在（0，1]遞減，即H（m）＜H（0）=-1＜0，
故函數(shù)h（x）有零點(diǎn)，符合題意．
當(dāng)m＞1時(shí)，h(x)=

e-x+m+1-emx2-x-1， x＞m e-em3-m-1，    x=m ex-m+1-emx2-x-1， x＜m

，
x＞m時(shí)，h′（x）=-e^-x+m+1-2emx-1，h″（x）=e^-x+m+1-2em＜0⇒h′（x）遞減，即h′（x）＜h′（m）=-e-2em²-1＜0⇒h（x）遞減，即h（x）＜h（m）=e-em³-m-1＜0；
x＜m時(shí)，h′（x）=e^x-m+1-2emx-1，h″（x）=e^x-m+1-2em＜0⇒h′（x）遞減，且g=h′（0）=e^1-m-1＜0，所以存在x₀＜0，使h′（x₀）=0，即ex0-m+1=2emx0+1，故h(x)max=h(x0)=2emx0+1-emx02-x0-1=x0(2em-emx0-1)＜0；
x=m時(shí)，h（m）=e-em³-m-1＜0．
故函數(shù)h（x）無零點(diǎn)，不符合題意．
故答案為：（0，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)零點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，屬難題．難點(diǎn)有二：一是形缺數(shù)時(shí)難入微，從圖象角度不易求解；二是需要二次求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性．