Question

在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD是正三角形，且與底面ABCD垂直，已知底面ABCD是面積為2的菱形，∠ADC=60°，M是PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證PA⊥CD；
（Ⅱ）求二面角P-AB-D的度數(shù)；
（Ⅲ）求證平面PAB⊥平面CDM．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先取CD的中點(diǎn)E，連PE，AE，根據(jù)側(cè)面PCD是正三角形，且與底面ABCD垂直可得PE⊥底面ABCD；再結(jié)合底面ABCD是面積為2的菱形，∠ADC=60°，即可證PA⊥CD；
（Ⅱ）直接根據(jù)CD∥AB，再結(jié)合（Ⅰ）所得 AE⊥AB，PA⊥AB可以得到∠PAE是二面角P-AB-D的平面角；再結(jié)合菱形的面積求出AB的長，進(jìn)而求出∠PAE的度數(shù)即可；
（Ⅲ）取PA的中點(diǎn)N，連MN，DN，則MN∥AB∥CD，根據(jù)AD=PD得到PA⊥ND  結(jié)合PA⊥CD即可得PA⊥平面CDM，進(jìn)而得到平面PAB⊥平面CDM．
解答：解：（Ⅰ）取CD的中點(diǎn)E，連PE，AE
因?yàn)椤鱌CD為正三角形  所以   PE⊥CD
又底面ABCD⊥側(cè)面PCD，因?yàn)镻E⊥底面ABCD      …（3分）
∠ADC=60°，AD=AC，∴△ADC為正三角形，
所以AE⊥CD    由三垂線定理PA⊥CD   …（5分）
（Ⅱ）因?yàn)?nbsp;CD∥AB，由（Ⅰ）可得 AE⊥AB，PA⊥AB
∴∠PAE是二面角P-AB-D的平面角 …（7分）
因?yàn)榱庑蜛BCD是面積S=AB²•sin60°=2，
∴AB=2=CD，PE=AE，∠PAE=45°；
即二面角P-AB-D為45° …（9分）
（Ⅲ）取PA的中點(diǎn)N，連MN，DN，則MN∥AB∥CD
所以 M、N、D、C四點(diǎn)共面，又 因?yàn)?nbsp;    AD=PD
∴PA⊥ND  又PA⊥CD
∴PA⊥平面CDM           …（12分）
所以  平面PAB⊥平面CDM                      …（14分）
點(diǎn)評：本題主要考查線線垂直以及面面垂直的證明和二面角的求法．在證明面面垂直時(shí)，一般先證明線線垂直，得到線面垂直，進(jìn)而得到面面垂直．