Question

對1個單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗，清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為：1－)為0.8，要求洗完后的清潔度是0.99．有兩種方案可供選擇，方案甲：一次清洗；方案乙：兩次清洗．該物體初次清洗后受殘留水等因素影響，其質(zhì)量變?yōu)閍(1≤a≤3)．設(shè)用x單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是(x＞a－1)，用y質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是，其中c(0.8＜c＜0.99)是該物體初次清洗后的清潔度．

(1)分別求出方案甲以及c＝0.95時方案乙的用水量，并比較哪一種方案用水量較少；

(2)若采用方案乙，當(dāng)a為某定值時，如何安排初次與第二次清洗的用水量，使總用水量最少？并討論a取不同數(shù)值時對最少總用水量多少的影響．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與z，由題設(shè)有＝0.99，解得x＝19． 　　由c＝0.95得方案乙初次用水量為3，第二次用水量y滿足方程0.99，解得y＝4a，故z＝4a＋3．即兩種方案的用水量分別為19與4a＋3． 　　因為當(dāng)1≤a≤3時，x－z＝4(4－a)＞0，即x＞z，故方案乙的用水量較少． 　　答：兩種方案的用水量分別為19與4a＋3．方案乙的用水量較少． 　　(2)設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為x與y，類似(1)得 　　x＝，y＝a(99－100c)，(*) 　　于是x＋y＝＋a(99－100c)＝＋100a(1－c)－a－1． 　　當(dāng)a為定值時，x＋y≥－a－1＝－a＋－1， 　　當(dāng)且僅當(dāng)＝100a(1－c)時等號成立．此時 　　c＝1＋(不合題意，舍去)，或c＝1－∈(0.8，0.99)， 　　將c＝1－代入(*)式得x＝－1＞a－1，y＝－a． 　　故c＝1－時總用水量最少，此時第一次與第二次用水量分別為－1與－a，最少總用水量是T(a)＝－a＋－1．當(dāng)1≤a≤3時，T′(a)＝－1＞0， 　　故T(a)是增函數(shù)(也可以用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷)．這說明，隨著a的值的減小，總用水量減�。�