Question

19．已知在△ABC中，a²+c²-b²=ac，log₄sinA+log₄sinC=-1，△ABC的面積為$\sqrt{3}$
（1）求∠B及b的長度；
（2）求a的長．

Answer 1

分析 由已知及余弦定理可得cosB=$\frac{1}{2}$，結(jié)合B的范圍即可求得B，由對數(shù)運算法則及積化和差公式可得a=c，由三角形面積公式即可求得a，b的值．

解答 解：∵a²+c²-b²=ac，
∴由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∴由B為內(nèi)角，可得B=60°，
∵log₄sinA+log₄sinC=-1，
∴sinAsinC=$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{2}$[cos（A+C）-cos（A-C）]，既有：-$\frac{1}{2}$-cos（A-C）=-$\frac{1}{2}$，可得：cos（A-C）=0，
可得：A=C，a=c，
∵ABC的面積S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac=$\sqrt{3}$，
∴a=c=2，
所以：a=b=c=2，A=B=C=60°．

點評 本題主要考查了余弦定理，三角形面積公式，對數(shù)運算法則及積化和差公式的綜合應(yīng)用，屬于基本知識的考查．